Máximos y mínimos mediante el método de Lagrange:
Sea una función continua y derivable de varias variables f ( x, y ) (“varias” variables, o sea , dos en este ejemplo). Sabemos que para encontrar los extremos de la función (es decir, los puntos (x,y) donde f alcanza su máximo o mínimo valor), debemos resolver las ecuaciones: ∂f ( x , y ) ∂f ( x, y ) = 0; =0 ∂x ∂y Esto es lo mismo que especificar el punto donde el gradiente de la función en el plano XY se anula:
∇f ( x, y ) = 0. Como usted sabe (!), el gradiente en este caso es un vector en el plano XY que indica la dirección hacia donde hay que moverse para que la función aumente más bruscamente. El gradiente se anula en los puntos donde la función es “horizontal” (donde la función no …ver más…

Esta elegante condición corresponde exactamente al Método de Lagrange para encontrar máximos y mínimos de una función f ( x, y ) sujeto a la restricción g ( x, y ) = 0 : a) Construya una nueva función f ( x, y ) = f ( x, y ) − λ g ( x, y ) , donde λ es una cosntante (multiplicador de Lagrange), hasta aquí desconocida. b) Extremice esta nueva función, considerando las variables sin restricción, es decir: ∇f ( x, y ) = 0 Las ecuaciones obtenidas serán funciones de las coordenadas x, y y del parámetro λ . c) Use la ecuación de restricción g ( x, y ) = 0 para determinar λ .

La belleza de este método es que es fácil de aplicar y fácil de generalizar a un número mayor de variables y de restricciones.

En 3 dimensiones, con una restricción:: Queremos encontrar los extremos de f ( x, y , z ) , sujeto a g ( x, y , z ) = 0 . Esto se generaliza en forma muy simple: 1) Ahora trabajamos en el espacio XYZ en vez del plano XY. 2) Ahora f ( x, y , z ) se puede representar en el espacio XYZ por superficies de nivel, donde cada superficie es el lugar de puntos donde la función tiene un valor dado. Tal como las curvas de nivel en dos dimensiones, las superficies de nivel resultan como hojas paralelas en cada vecindad, y el gradiente de la función es un vector que apunta normalmente a las hojas en la dirección en la que la función aumenta. 3) Ahora, la función de restricción g ( x, y , z ) = 0 es una superficie, que corresponde a una de las superficies de nivel de