Torsión

Resistencia de Materiales III-n

Torsión en barras prismáticas
Cuando se somete una barra recta de sección constante únicamente a un momento, según su eje longitudinal (eje z), esta se torsiona, desarrollándose tensiones rasantes y una sola solicitación resultante en cada sección transversal que será Mz, el momento torsor según el eje de la barra. Para definir la posición de los puntos de la barra y sus desplazamientos tomaremos un sistema de coordenadas cartesianas con el eje z según la dirección longitudinal de la barra y con los ejes x e y que pertenecen a la sección normal al eje de la barra. De esta forma un punto P quedara definido por sus coordenadas originales (x,y,z) y su desplazamiento que llamaremos (u,v,w) queda …ver más…

Teniendo en cuenta que se trata de un problema estático y que no estamos considerando la existencia de fuerzas de volumen, las ecuaciones quedan de la forma:
∇.T = 0

y desarrollándolas

∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + =0 + ∂x ∂z ∂y ∂τ xy ∂σ y ∂τ yz + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + =0 + ∂x ∂z ∂y Sustituyendo por los valores ya calculados de las tensiones se obtiene que las dos primeras ecuaciones se verifican siempre pues todos los sumandos son nulos.

CONDICIÓN QUE DEBE CUMPLIR w La tercera ecuación nos impone una condición que es:

Instituto de Estructuras y Transporte - Facultad de Ingeniería

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Torsión

Resistencia de Materiales III-n
 ∂2w ∂2w  ∂τ xz ∂τ yz + = G 2 + 2  = G∇ 2 w 0=  ∂x ∂x ∂y ∂y   

Resultando en definitiva que el alabeo debe cumplir la condición que normalmente se denomina ecuación de Laplace que tiene como soluciones funciones llamadas armónicas, o sea:

∇2w = 0
DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN ψ Una forma automática de hacer cumplir la tercera ecuación de balance mecánico es colocar las tensiones de la siguiente manera:

τ xz = Gθ

∂ψ ∂y

τ yz = −Gθ

∂ψ ∂x

Donde ψ puede en principio ser una función cualquiera. La forma que se definen las tensiones es tal que la tensión en un punto es el gradiente de la función girado 90 grados en sentido horario y multiplicado por Gθ. Dicho de otra manera la tensión rasante τ es tangente a la curva de nivel de la función ψ. CONDICION QUE DEBE CUMPLIR ψ Sabemos que:

τ xz = Gθ
O sea