´ ´ CURSO DE METODOS DE LA F´ ISICA MATEMATICA TEOR´ DE GRUPOS IA

H. FALOMIR DEPARTAMENTO DE F´ ISICA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP

NOTAS SOBRE TEOR´ DE GRUPOS IA

1.

Generalidades

Un grupo G es un conjunto de elementos sobre los cuales hay definida una ley de composici´n, · : G × G → G, que es asociativa, con neutro e inverso, es decir, o a) f · (g · h) = (f · g) · h, ∀ f, g, h ∈ G, b) ∃ e ∈ G, llamado elemento neutro o identidad, que satisface e · g = g · e = g, ∀ g ∈ G, c) ∀ g ∈ G, ∃ g −1 ∈ G, llamado su inversa, que satisface g · g −1 = g −1 · g = e. Evidentemente, si f ·g = h·g entonces f = h. En efecto, (f ·g)·g −1 = f ·(g·g −1 ) = (h · g) · g −1 = h · (g · g −1 ) ⇒ f = g. Similarmente, se puede demostrar que el …ver más…

u Tambi´n es posible representar una permutaci´n de p elementos mediante una e o matriz cuyos elementos son todos 0 excepto p de ellos iguales a 1, dispuestos de modo tal que s´lo aparezca un 1 por fila y por columna. Por ejemplo, para σ ∈ S5 o en (2.2) tenemos  a2   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0     a1 a1     a 2   a2       a3  = M (σ) a3  ,         a 4   a4  a5 a5

(2.12)

    a3   0     a1  =  1        a5   0 0 a4

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H. Falomir

donde hemos introducido un producto de elementos ak por 1 o 0 cuyo significado es, respectivamente, seleccionar o no a dicho elemento. En esta representaci´n del grupo S5 , la operaci´n de composici´n se reduce o o o simplemente al producto usual de matrices, M (σ σ) = M (σ ) M (σ). N´tese que la traza de M (σ), tr M (σ), es el n´mero de elementos que deja o u invariantes la permutaci´n σ, mientras que su determinante, det M (σ), es igual a o +1 para permutaciones pares y a -1 para las impares. Por ejemplo, para σ en (2.2) y M (σ) en (2.12), σ = (1 3 2) (4 5) = (4 5) (1 2) (1 3), (2.13) tr M (σ) = 0, det M (σ) = −1.

Ejemplo: La tabla de la operaci´n de composici´n en el grupo S3 = {e, a = o o (1 2 3), b = (1 3 2), α = (2 3), β = (3 1), γ = (1 2)} est´ dada por el cuadro a · e (2.14) b e a b α β γ e a b α β γ e β γ α b a b b e a γ α β

a a b

α α γ β e

β β α γ a e

γ γ β α b a e Si nos restringimos a las entradas correspondientes al