4.1 la serie infinita ex=1+x+x22!+x33!+…+xnn! Se utiliza para aproximar ex.
a) Demuestre que la expansión en serie de Maclaurin es un caso especial de la expansión en la serie de Taylor [ecuación (4.7)] con xi= 0 y h= x.
b) Use la serie de Taylor para estimar fx=e-x en xi+1= 1 para xi= 0.25. Emplee versiones de cero, primero, segundo y tercer orden, y calcule |εt| para cada caso.
a) con xi=0 y h=x f(xi+1)=f(xi)+f(xi)h+f''xih22!+f'''xih33!+…f'nxihnn! f(xi+1)=1+x+x22!+x33!+…xnn!

b) f(x)=e-x en xi+1=1 para xi=0.25 xi=0.25 h=xi+1-xi de n=0 a n=3 xi+1=1 h=0.75
Valor exacto f(1)=e-1=0.3678

Orden cero (n=0) x=0.25 f(0.25)=e-x f(0.25)= e-0.25 f(0.25)=0.778 f(1)= e-1 …ver más…

Evalué la derivada en x = 2 usando un tamaño del incremento 0.2. Compare los resultados con el valor exacto de las derivadas. Interprete los resultados considerando el término residual, de la expansión en la serie de Taylor.

Para la derivada de f(x) = 25x3 – 6x2 + 7x – 88 derivada en x =¡ 2 con un incremento de 0.2 * Termino residual x = 2 h = 0.2 f(x) = 25x3- 6x2 + 7x -88 f’(x) = 75x2-12x + 7 f’(x) = 75 (2)2 – 12 (2) + 7 f’(x) = 283 valor verdadero h = 0.2 – 2= 1.8

* hacia atrás = 1.8 * centrada = 2 * hacia adelante = 2.2

hacia atrás = 1.8 f(xi-1) = 25x3 – 6x2 + 7x – 88 f(xi-1) = 25 (1.8)3 – 6 (1.8)2 + 7 (1.8) – 88 = 50.96

centrado f (xi) = 25 (2)3- 6 (2)2 + 7 (2) – 88 f (xi) = 102

hacia adelante f(xi+1) = 25 (2.2)3 – 6 (2.2)2 + 7 (2.2) – 88 f(xi+1) = 164.50

Diferencia finita

hacia atrás f(xi) fxi – fxi-1h= 102-50.960.2=255.2

centrado f(xi) = fxi+1 – fxi-12h= 164.56-50.960.4=284

hacia adelante f(xi) fxi+1– fxih= 164.56-1020.2=312.8

4.7 con la aproximación en diferencias