INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRALES DEFINIDAS.

1.-INTEGRAL DEFINIDA.
Sea y = ƒ(x) una función continua en un intervalo [a, b].
Nota.- Para simplificar la demostración se considera positiva, ƒ(x) > 0, en todo punto del intervalo.

Se divide el intervalo [a, b] en "n" subintervalos (no necesariamente de la misma amplitud) por los puntos xo= a, x1, x2, ..., x n-1, xn = b así se dispone de los intervalos cerrados [x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn] de amplitudes respectivas h1= x1- xo, h2 = x2 - x1, ..., hn = xn - xn-1
X

Y

y = ƒ(x)

Ahora bien, como la función es contínua en todo el intervalo [a, b], lo es también en cada uno de los subintervalos, por lo que en cada uno de ellos alcanza un mínimo absoluto, m1,m2, .... , mn, y un …ver más…

SI = SE =

∫ f ( x) dx a b

que se lee integral definida entre a y b de ƒ de x diferencial de x. Los extremos del intervalo cerrado son, a límite inferior y b límite superior de la integral.

2.- SIGNO DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
En la expresión anterior se ha considerado a la función positiva en todo punto del intervalo [a, b]. En esta situación, al ser mk, Mk, hk positivos, también los son los productos hkMk y hkmk y sus sumas SI y SE, y en consecuencia la integral definida (límite de sumas); luego Si ƒ(x) > 0 en [a, b], ⇒

∫ f ( x) dx > 0 a b

Si la función ƒ(x) es negativa en todo punto de [a, b], hk son positivos, pero mk y Mk son negativos, por lo que son negativos los productos hkmk y hkMk y también lo son sus sumas. Por tanto, si ƒ(x) < 0 su integral definida es negativa. Si ƒ(x) < 0 en [a, b], ⇒

∫ f ( x) dx < 0 a b

Como el área es una medida, se debe expresar como número positivo; por lo que en el presente caso el área (no la integral definida) es

S=

∫ f ( x) dx a b

Se insiste en que la integral definida puede ser positiva o negativa, mientras que