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En este capítulo abordamos los elementos básicos de la teoría de conjuntos.
Los conjuntos se han convertido en los objetos matemáticos más fundamentales, sobre los que se construye el resto de las matemáticas. Y la teoría de conjuntos, a su vez, se edifica sólidamente sobre axiomas mediante las leyes de la lógica de las que se ha hecho un esbozo en el capítulo precedente.
Por ello la primera sección de este capítulo se dedica a declarar los axiomas que usaremos, para continuar después mediante definiciones y teoremas con sus demostraciones. La colección de axiomas de la teoría de conjuntos es un tema complicado y nunca cerrado a la discusión. Actualmente se considera como esquema básico el de los nueve axiomas de …ver más…

El símbolo que indica que x 31 CONJUNTOS pertenece al conjunto A es x 2 A, y decimos que x es elemento de A, mientras que x /2 A es su negación.
La teoría de conjuntos tiene esencialmente dos actividades: comparar conjuntos y construir nuevos conjuntos a partir de unos dados (para, después, comparar los nuevos con los originales). En cualquiera de los dos casos, la teoría usa conjuntos ya existentes, no puede crear un conjunto de la nada. Por ello el primer axioma que enunciamos es el que dice que, al menos, existe un conjunto de modo que toda la teoría no se quede vacía.
Axioma (De existencia). Existe un conjunto.
La primera tarea es, por tanto, comparar conjuntos. La comparación más básica es saber si dos conjuntos son iguales o no, que es lo que resuelve el segundo axioma. Axioma (De igualdad). Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos elementos. De manera simbólica lo escribimos
A = B , 8x(x 2 A $ x 2 B).
Lo que dice este axioma es que un conjunto queda completamente caracterizado por los elementos que contiene, y no importa si los elementos los guardamos en una caja o en una bolsa, si los ordenamos o están desordenados; sólo importa cuáles son los elementos. También se llama axioma de extensión porque permite definir un conjunto describiendo todos y cada uno de sus elementos, es decir, describiendo su extensión. Para definir un conjunto por extensión se escriben sus elementos