CAPÍTULO

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Los números reales

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1.3 Propiedades algebraicas de los números reales
1.3.1 Propiedades básicas
En los números reales se definen dos operaciones, adición y multiplicación, las cuales tienen ciertas propiedades:

Propiedades Conmutatividad Asociatividad Existencia neutro del elemento

Adición aCb DbCa .aCb/Cc D aC.b C c/ aC0 D a a C . a/ D 0

Multiplicación a bDb a .a b/ c D a .b c/ a 1Da a a
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Existencia del elemento inverso

D 1 si a ¤ 0

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición a
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.b C c/ D .a

b/ C .a

c/

canek.azc.uam.mx: 14/ 5/ 2008

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Cálculo Diferencial e Integral I

Al producto de dos números reales a, b lo denotaremos indistintamente …ver más…

Esta expresión se lee: si a C b D a C c, entonces b D c. Es decir, se puede cancelar un mismo término de los dos miembros de una igualdad.

a 0 D 0. Nótese que no podemos cancelar el 0 como factor, pues entonces tendríamos aberraciones del tipo siguiente: 0 1 D 0 & 0 2 D 0 ) 0 1 D 0 2 ) 1 D 2: a b D 0 ) a D 0 o bien b D 0. Esta propiedad se usa para resolver ecuaciones: si logramos factorizar un polinomio de grado n, P .x/ D Q.x/R.x/ a b D a c & a ¤ 0 ) b D c.

entonces, resolver la ecuación P .x/ D 0 es lo mismo que resolver las dos ecuaciones Q.x/ D 0 y R.x/ D 0 que no son de grado mayor que n. Ejemplo: Se tiene que x 2 .x 3x 10 D .x 5/.x C 2/; 2.

5/.x C 2/ D 0 ) x def 5 D 0 o bien x C 2 D 0 ) x D 5 o bien x D

Se definen la sustracción y la división como: a b D a C . b/. 3

4 a def Da b b
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Cálculo Diferencial e Integral I con b ¤ 0.

Algunas igualdades importantes son: 1 Da a
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si a ¤ 0.

Ejemplos: 1. 2. a 1 D 3 1. 3 1 D .ab/ ab
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si ab ¤ 0. b D 0 si y solamente si a D b).

b D 0 , a D b (esta expresión se lee: a Ejemplos: 1. a 5 D 0 , a D 5. z D 0 , a C b D z.

a D 1 , a D b con b ¤ 0. b Ejemplos:

2. a C b

2 D 1 , c D 2. c z 2. D 1 , z D 6. 6 ac 3. D 1 , ac D h con h ¤ 0. h 1. 0 D 0. 1
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D 1. Ejemplos: 1. 2. . 10/ D 10. Œ .h g/ D h g. 3. Œ .a C b/ D a C b.

. a/ D a.

.a 1 /

1

D a con a ¤ 0. 1. .3 1 / 2. Œ.a
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Ejemplos: D