Espacios vectoriales

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En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación por escalares con un tipo especial de matrices, las de orden nx1. Abusando del lenguaje y la notación establecimos la correspondencia:
 x1   x2  .  .  . .   xn        

(x 1, x 2 , . . . . , x n )

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n Es decir, aceptamos que Mnx 1( ℜ ) ≅ ℜ , con el fin de aprovechar la familiaridad que se tiene con los espacios

ℜ2 y ℜ3 .

En este capítulo estudiaremos …ver más…

Arratia Z. 91

(5) Para n número natural, denotemos por Pn [ x] = { p( x ) ∈ ℜ[x] / p(x) de grado ≤ n } Pn [ x], con las operaciones suma y multiplicación por escalares reales, es un espacio vectorial real. (6) Si A ⊆ ℜ, el conjunto F( A, ℜ) = { f : A → ℜ / función }, con la suma y ponderación usuales de las funciones, es un espacio vectorial sobre ℜ . ¿Cuál es el elemento cero de los siguientes espacios vectoriales reales? ℜ n , M mxn ( ℜ ) , Pn [ x] y F( A, ℜ)

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Los siguientes conjuntos, con las operaciones suma y ponderación habituales de los respectivos espacios, no son espacios vectoriales reales.
A = { ( x , y) ∈ ℜ 2 / y = 2x − 3 } B = { a + 5x 2 ∈ P2 [x] / a ∈ ℜ } C = { A ∈ M n ( ℜ ) / det(A) ≠ 0 } D = { f ∈ F ( ℜ , ℜ ) / f creciente en ℜ }

Ejercicio: Demuestre que los conjuntos A, B, C y
D mencionados anteriormente, no son espacios vectoriales reales.

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Cuando un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpo κ , con las operaciones de V restringidas a sus elementos, resulta ser un espacio vectorial sobre κ , entonces se dice que W es un subespacio vectorial (o subespacio lineal o simplemente subespacio) de V. Por lo tanto, W es un subespacio de V ⇒ 0V ∈ W O