EJERCICIOS 1.- Mostrar que el segundo coeficiente del virial para el potencial de Sutherland, definido por
⎧∞ u ( r ) = ⎨ -γ ⎩- cr Es r σ

2πσ 3 ∞ 1 ⎛ 3 ⎞⎛ c ⎞ B3 = − ∑ j! ⎜ iγ − 3 ⎟⎜ σ γ kT ⎟ ⎜ ⎟ 3 j =0 ⎝ ⎠ ⎠⎝

j

el parámetro γ , usualmente, es tomado como 6

sol.: La expresión para el segundo coeficiente del virial, cuando el potencial es una función sólo de la distancia relativa entre las partículas, es

B2 = −2π ∫ e − βu − 1 r 2 dr
0 ∞ ⎧ σ 2 ⎫ − β cr −γ 2 = −2π ⎨− ∫ r dr + ∫ e − 1 r dr ⎬ σ ⎩ 0 ⎭ ⎧ 1 3 ∞ ∞ β cr −γ j 2 ⎫ ⎪ ⎪ = −2π ⎨− σ + ∫ ∑ r dr ⎬ j! ⎪ 3 ⎪ σ j =1 ⎩ ⎭ ⎧ 1 3 ∞ (β c ) j ∞ −γj + 2 ⎫ = −2π ⎨− σ + ∑ ∫ r dr ⎬ j! σ j =1 ⎩ 3 ⎭

∞

(

)

(

)

(

)

sabemos que − γj + 2 < 0 para todos los valores de …ver más…

p ⎞ j ρj ⎜ ⎟ = + kT ∑ ⎝ ∂T ⎠V T j =1 dT

Luego,
∞ dB ⎛ ∂E ⎞ j 2 ρj ⎜ ⎟ = kT ∑ ⎝ ∂V ⎠T j =1 dT

Considerando sistema a temperatura constante dE = kT
2

∑ dT j =1

∞

dB j

ρ j dV

Como la densidad está relacionada con el volumen a traves de V = N / ρ , su diferencial respectiva sería dV = − N dρ

ρ

2

Así dE = − NkT
2

∑ dT j =1

∞

dB j

ρ j − 2 dρ

Integrando
E − E0 = − NkT 2 ∑ j =1 ∞

dB j dT

ρ j − 2 dρ ∫
0

ρ

Se obtiene
E = − NkT
2

∑ j =1

∞

1 dB j j −1 ρ + E0 j − 1 dT

Como el primer coeficiente del virial es constante, independiente del potencial utilizado, la serie no diverge y es fácil hacer un cambio de subíndice, tal que
E = − NkT
2

1 dB j +1 j ∑ j dT ρ + E0 j =1

∞

3 E0 = NkT Dado que 2

Se obtiene la expresión para la energía
∞ 3 1 dB j +1 j E = −T∑ ρ NkT 2 j =1 j dT

Del mismo modo, sabemos que
∞ d( TB j ) j ⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂P ⎞ ρ ⎟ = k∑ ⎜ ⎟ =⎜ dT ⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂T ⎠V j =1

A temperatura constante dS = k ∑ j =1 ∞

d (TB j ) dT

ρ dV = − Nk ∑ j j =1

∞

d (TB j ) dT

ρ j − 2 dρ

Integrando
1 d (TB j +1 ) j S − S0 = − Nk ∑ ρ dT j =1 j
∞

Luego,
∞ 1 d (TB j +1 ) j S S0 = −∑ ρ Nk Nk j =1 j dT

Constituye la expansión del virial para la