Aplicación de la derivada en la Economía

Introducción:

Una de las muchas aplicaciones de las derivadas es en la economía, en esta área se utiliza el cálculo para calcular costos máximos o mínimos, también para la búsqueda de la optimización de gastos sujeta a restricciones se utiliza la derivación de las funciones.
Las derivadas en la economía pueden tener muchísimas aplicaciones. Estas son una herramienta debido a que su naturaleza permite realizar cálculos marginales, es decir, hallar la razón de cambio cuando se agrega alguna unidad adicional al total, sea cual sea la cantidad económica que se esté considerando, por ejemplo: costo, ingreso, beneficio o producción, de hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción …ver más…

U = (400 - 2q)q – (0.2q + 4 + 400/q)q
U = 400q - 2q² - (0.2q² - 4q + 400)
U = 400q - 2q² - 0.2q² - 4q – 400
U = -2.2q² + 396q – 400

Ahora derivamos la función de utilidad.

U = -2.2q² + 396q – 400
U’ = -4.4q + 396

El siguiente paso es despejar la “q” de la función de la utilidad derivada.

U’ = -4.4q + 396
-4.4q + 396 = 0
-4.4q = -396 q = (-396) / (-4.4) q = 90 unidades

b) Determinar el precio al cual ocurren las utilidades máximas.

Como nos piden el precio y nosotros ya tenemos la función de demanda y tenemos lo que vale la “q” entonces vamos a sustituir “q” igual a 90 unidades en la función de demanda.

P = 400 – 2q
P = 400 – 2(90)
P = 400 – 180
P = $220

c) Determine las utilidades máximas.

Como ya tenemos la “q” que vale 90 unidades entonces tenemos que sustituir en la función de utilidad, no en la función que derivamos sino en la función de utilidad que obtuvimos al comienzo del ejercicio.
La sustitución queda de la siguiente manera.

U = -2.2q² + 396q – 400
U = -2.2 (90)² + 396(90) - 400
U = -2.2 (8100) + 35640 – 400
U = $17,420 por unidad

Conclusiones

El monopolista tiene que producir 90 unidades a un precio de $220 para que la utilidad sea el mayor posible en este caso $17,420, de hecho si produce menos unidades que 90 o más unidades que 90 la utilidad no será