DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE
Decir que limn→cfx=L significa que f(x) puede hacerse tan cercana como se desee a L siempre que x sea suficientemente cercana, pero no igual a c. El primer ejemplo ilustra este punto.
Ejemplo.
Utilice la gráfica de y = f(x) = 3x2 para determinar qué tan cercana debe estar x de 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.05 de 12.
Solución
Para que f (x) esté a menos de 0.05 de 12, debemos tener 11.95 6 f(x) 6 12.05.
En la figura 1 se dibujaron las rectas y = 11.95 y y = 12.05. Si despejamos x de y = 3x2, obtenemos x= y/3. Por lo tanto, f (11.95/3 ) = 11.95 y f (12.05/3 ) = 12.05.
La figura 1 indica que si 11.95/3 < x < 12.05/3 entonces f (x) satisface 11.95 < f (x) < 12.05. Este …ver más…

En otras palabras, David puede hacer que 2x + 1 esté a menos de 0.01 de 7, siempre que x esté a menos de 0.01/2 de 3.
¿Dos límites distintos?
Una pregunta natural es: “¿una función puede tener dos límites distintos en c?”. La respuesta intuitiva obvia es no. Si una función se aproxima cada vez más a L, cuando x → c, no puede acercarse también cada vez más a un número diferente M.

Teoremas de límites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,

Teorema de límite3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite8:

Procedimiento para calcular límites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2,