ÁLGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser facilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más facilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse …ver más…

Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.
LEMA 2.2 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V es dimensionalmente finito y que b = {x1, ..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn} í W, existe una unica transformación lineal T : V W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n.

TEOREMA 2.3 En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).
Demostración
Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x Î V, existen escalares únicos a1, ..., am Î F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como
[ x ]b = ( a1
:
am ),
Es fácil ver que el mapeo x | [ x ]b constituye un isomorfismo ç : V Mn x 1(F).
Sean V y W dos espacio vectoriales