A partir de los resultados obtenidos en el aprendizaje de
las funciones en la asignatura Matemática
Básica, es que se hizo necesario elaborar la propuesta
minimal de ejercicios sobre funciones.
En el desarrollo, se
analiza los referentes teóricos acerca de las funciones y
el aprendizaje y
además una valoración del contenido referente a
funciones; seguidamente, se realiza la propuesta minimal de
ejercicios.
La asignatura de Matemática en cualquier grado de
enseñanza escolar (del primario al
universitario, incluyendo la ocurrencia de postgrados,
maestrías y doctorados que podrían tener cabida a
continuación) habitualmente, y debido a su innegable
complejidad, desarrollo, y elevado nivel de abstracción
que exige de quienes la estudian, ha constituido una de las
materias más fuerte a la hora de comprenderla.
A partir de esta certidumbre, se considera loable
cualquier intención creativa que pudiera ayudar a la
comprensión de algunos de los disímiles aspectos
que con mayor asiduidad aparecen en ella.
Desde que en 1637 el matemático francés
René Descartes
usara por primera vez el término función
para designar una potencia
xn de la variable x, y las subsiguientes designaciones
que le sucedieron, hasta llegar a entenderse de manera general
como la relación entre dos magnitudes, de modo que a cada
valor de una
de ellas le corresponde determinado valor de la otra, el trabajo con
expresiones matemáticas se expandió por sobre
las funciones y se ha ganado un lugar dentro de la lista que
conforman esos disímiles aspectos citados con
anterioridad.
La metodología del estudio de las funciones,
por su parte, ha demostrado que el apoyo gráfico ayuda
considerablemente al entendimiento del comportamiento
de algunas de las mismas.
De esta manera, paralelamente al impulso que se
ganó el trabajo con
las funciones matemáticas, se desarrolló la
práctica de representarlas en un plano
n-dimensional.
La necesidad real de crear una propuesta de ejercicios
que auxiliara a los estudiantes de la Facultad de Preparatoria en
la operación de graficar algunas funciones consideradas
básicas dentro del contenido de su curso de
Matemática, fue la causa y el punto de partida de este
trabajo.
El concepto de
función está implícito en las
matemáticas desde las primeras civilizaciones; y ello
puede inferirse del estudio de las tablillas de barro
babilónicas de la colección Plimpton, que datan del
año 1900 a.n.e. Se tiene la certeza de su origen
práctico y su vinculación a las necesidades del
hombre; pues
tal como la numeración surge ante las necesidades creadas
por el intercambio, los descubrimientos geométricos son
impulsados por las construcciones y las divisiones de los
terrenos, las funciones surgen a partir de la relación
entre cantidades que varían, una en dependencia de
otras.
Se puede encontrar una noción vaga de este
concepto, bajo la forma de tablas de correspondencias que
provienen de la observación de fenómenos naturales,
ya que la idea de función está ligada
históricamente a la percepción
de correlaciones entre los fenómenos de la naturaleza,
así la primera noción de función se
encuentra en las tablillas astronómicas del período
seleucida.
Sobre estas tablillas, existen relaciones
aritméticas que provienen de la observación de
fenómenos análogos, por ejemplo los períodos
de visibilidad de un planeta y la distancia angular del mismo al
Sol.
La aceptación intuitiva de la dependencia
funcional como manifestación de una relación de
causa y efecto en un fenómeno, en diferentes situaciones,
ha sido natural desde los tiempos remotos. Una larga historia poseen los intentos
de expresar esta dependencia funcional entre cantidades variables a
través de la matemática.
El concepto dependencia funcional se manifiesta
matemáticamente, por primera vez, en la expresión
de la variación de los parámetros que determinaban
un lugar geométrico, a través de una tabla
numérica.
En los trabajos de constatación, para determinar
las dificultades que presentan los estudiantes en el aprendizaje
de las funciones en el nivel preparatorio, se ha podido precisar
que estas dependen de múltiples factores, pero
fundamentalmente de la creencia que tienen los profesores acerca
de qué es la matemática, cómo
enseñarla y para qué se aprenden estos contenidos
en la
escuela. Los resultados obtenidos apuntan hacia las
afirmaciones siguientes, que caracterizan el proceso de
enseñanza-aprendizaje de estos contenidos en el
preuniversitario.
- El papel protagónico lo juega el profesor,
este trasmite contenidos sin propiciar la búsqueda de
estos por los estudiantes, lo que limita considerablemente la
posibilidad de los alumnos para transferir estos conocimientos
a otros contextos. - Los alumnos tienen tendencia a la ejecución
inmediata, si el ejercicio o problema hay que pensarlo
más de 3 minutos renuncian a su solución,
consideran no estar preparados para esa tarea.
- Creencia de los profesores sobre lo que significa
saber Matemáticas, esto trae por consecuencia que
sólo se debe enseñar lo que
"explícitamente va a prueba de ingreso a la Educación
Superior", y que predomine un tipo de instrucción
que renuncia tácitamente a la teoría y absolutiza la resolución
de ejercicios como única vía de aprendizaje de
esta ciencia.
- Formalismo en la enseñanza de la
Matemática, manifestado en el divorcio
evidente que existe entre contenido y forma, o entre sintaxis y
semántica en la enseñanza de estos
contenidos, lo que repercute en su asimilación y la
posibilidad posterior de aplicar los conocimientos a
situaciones no discutidas en el salón de
clases.
- No se domina el trabajo sistemático con el
diagnóstico, y en los casos que este se
realiza es formal, no se le da seguimiento y no constituye un
instrumento de trabajo que permita armonizar la relación
diagnóstico-pronóstico-resultados.
- Se imparten y evalúan sólo los
contenidos del grado, y por lo tanto no se materializa el
principio de la sistematicidad de los
conocimientos.
- Las clases de ejercitación, que representan
más del 80% de los programas de
estudio, no son variadas de manera tal que incluyan ejercicios
sin solución, con varias soluciones y
con soluciones únicas, y el trabajo independiente dentro
de este tipo de clases es prácticamente nulo, pues la
intervención continúa por parte del profesor
.
Cabe preguntarse entonces si los contenidos que
aparecen en el currículo son los que realmente necesitan
los estudiantes para el desarrollo profesional o social, o si el
problema radica en cómo se produce el proceso de
aprendizaje. Esto ha motivado la investigación de nuevas dimensiones, es
decir no sólo centrarse en lo que se debe estudiar, y
cómo enseñarlo, sino en la forma en que se debe
producir el aprendizaje.
A partir de todo lo dicho anteriormente es que se
procede a la elaboración de la propuesta minimal de
ejercicios sobre funciones.
Propuesta minimal de ejercicios sobre
funciones.
Al finalizar el estudio de las funciones, en la
asignatura de Matemática en la Facultad de Preparatoria
se elaboró el siguiente conjunto de ejercicios que
constituyen las exigencias mínimas que debe dominar un
estudiante al finalizar estos contenidos.
- Representa en un sistema de
coordenadas rectangulares los puntos cuyas coordenadas se dan a
continuación:
a) (3;0) b) (0;3) c) (0;0) d) (2;8) e) (-3;5) f) (-1;-1)
g) (4;-6) h) (1/2;-5)
i) (-0.4;3/2)
a) P(4;6) y P’ simétrico de P respecto
al eje de las abcisas.b) P(-2;3) y P’ simétrico de P respecto
al eje de las ordenadas.c) P(-1;-4) y P’ simétrico de P
respecto al origen de coordenadas.- Representa en el plano los puntos cuyas coordenadas se
indican. Determina, además, las coordenadas de
P’.
a) Determina f(o); f(1); f(2); f(4) y
f(6).b) Determina el valor de x si f(x) = 0;
f(x) = 1; f(x) = 2.
- La función f está dada por el
gráfico que aparece en la figura 3.13.a) y = x – 2 b) y = 3x c) y = x2 d)
y = 3/x + 1, x = 0 e) y = x3 + 5f) y = x/5 g) y =
h) 3x + y = 0 i) x + 2y = 8 - Determina cuáles de las siguientes ecuaciones
definen funciones lineales: - Comprueba si los puntos siguientes pertenecen a la
representación gráfica de la función y =
8x + 3.
h) 3x + y = 0 i) x + 2y = 8a) P1(0;2) b) P2(1;11) c)
P3(0;3) d) P4(-1;5)
6. Escribe las ecuaciones que se definen las funciones
representadas en la figura.
7. Determina para qué valores de x
la función:
a) y = 5x +8 toma el valor 4.
b) y = 12 – x toma el valor –2/5.
c) y = -2x -5 toma el valor 0.4.
d) y = – x toma el valor 
.
8. De una función lineal se sabe que su cero es
–4 y que interseca al eje "y" en el punto de ordenada
–21/2. Represéntala
gráficamente.
9. Representa gráficamente las funciones lineales
siguientes:
a) y = x b) y = – 1/2 x c) y = x + 2 d) y + x =
2
d) y = 8 – 3x
10. Determina la ecuación de la función
lineal cuyo gráfico pasa por los
puntos:
a) A (0;0) y B (-1;3) b) M (-1;2) y N (0;-2) c) P(2;3) y
Q (-5;4)
a) y =
b) y = -x2 + 5 c)x = -y2+3y-1 d)
y = 2×2 + 3xe) y = x2 + 0.5 f)
y2+x2 =1 g) v = at2+
3t- Determina cuáles de las siguientes ecuaciones
representan funciones cuadráticas y cuáles no.
Fundamenta tu respuesta.gráfico pasa por los puntos:
a) A (1;2) b) B(-3;-3) c) C(1; 4) d) D (2;
-3) - Determina la ecuación de una función de
la forma y= ax2 (a
0) cuyo - Determina la ecuación de la función
cuadrática representada en la figura.
b) y = -x2 + 5 c)x = -y2+3y-1 d)
0) cuyo
14. Determina cuáles de las representaciones
gráficas de la figura son funciones y de
ellas cuáles son inyectivas. Considere conjuntos de
pares de la forma (x;y) y (y;x).
16 Los gráficos de la figura corresponden a
funciones del tipo f(x) =(x + b)3 + c.
Escribe la ecuación que le corresponde a cada
caso.
a) (-b;2) y (1;-6) b) (0;0) y (-2;8) c) (0;-1) y
(1;6)d) (0; 123) y (-4;-1) e) (3;5) y(5;7) f) (-b;b) y
(3;-1)- Determina los
valores b y c de la ecuación y = (x + b)
3 + c si el gráfico de la función
contiene a los puntos:Y = 2x+3 y=x2 y =
x23 (x >0)
- Dados los gráficos de las funciones
representadas en la figura, analiza si se puede determinar la
función inversa. Fundamenta. - Sean las funciones:
f(x)= 5x g(x)= 5x – 1
h(x)= 5x + 3 p(x)= 5x +3 –
1
Determina: a) Dominio e
imagen de
estas funciones.
b) Ceros en caso de que existan.
- c) ¿ Para qué valor de x se cumple
que:
f(x)= 
;
g(x) – 4 = 0 ; h(x+6) =
?
21. Representa gráficamente las siguientes
funciones si:f(x)= log5 x – 1 ; g(x)=
log5 (x + 0.5) ; m(x)= log5 (x –
5) + 1- Determina el dominio y la imagen de
f,g,m. - Calcula su cero
- Calcula x si: f(x)= – 3; g(x)= 1; m(x)=
2.
- Los gráficos siguientes representan
funciones del tipo y= log3 (x + b) +c , en cada
caso:
- Determina el dominio y la imagen de
- Determina la ecuación de las funciones cuyos
gráficos, se muestran en la figura. Analiza sus
propiedades.
- Escribe su ecuación.
- Determina los valores de x para los que está
definida la función. - Halla su cero.
- Escribe las coordenadas de los puntos P1,
P2, P3 sus ordenadas son 2,-1, y ½
respectivamente. - Escribe las coordenadas de los puntos
Q1,Q2,Q3 sus abscisas son
25,
-5/3, y 0 respectivamente.
Por último, y con el objetivo de
que se tenga una idea más clara de los resultados
obtenidos, se mostrarán las estrategias
seguidas en el proyecto para
que los alumnos pudieran transferir la definición de
cero, que sobre funciones lineales ya poseen, a la
función g con g(x)=senx.
Actividades.
- Se les preguntan a los alumnos el concepto de
"cero" de una función lineal. Estos deben responder
que "si f con f(x)=mx+n, m
R, n
R, n
R, es una función lineal, entonces
xo, es un cero de f si y sólo si
f(xo)=0".
1.1- ¿Cómo se puede hallar este
valor?
La respuesta de los estudiantes debe ser mx+n=0 de
donde, x=
. Con
esto se concluye que el procedimiento
es igualar la ecuación funcional a 0, pues los pares que
pertenecen a la función tienen la forma
(x;0).
2.- Se les pide a los alumnos que expliquen por
qué las funciones lineales tienen a lo sumo, sólo
un cero.
3.- Se propone a continuación el siguiente
ejercicio con el objetivo de transferir el concepto de cero a
cualquier gráfico.
"En el gráfico siguiente determine las
coordenadas de los puntos de intersección con los ejes
coordenados.
Obsérvese que hay puntos cuya segunda
componente en el par es 0, hay otros que no; pero hay
también puntos para los cuales no existe información que permita determinar sus
coordenadas. También que el eje vertical es "x", y el
horizontal es "y". Este tipo de actividad permite desarrollar el
pensamiento
"flexible y divergente" de los estudiantes.
- La discusión a partir del protagonismo de los
estudiantes debe aportar la definición de cero, y el
procedimiento de cálculo
por reflexiones sobre el contenido para su
determinación. - La evaluación del proceso permitirá a
los alumnos valorar si el concepto de cero, para la
función seno, se adecua al concepto que se tenía
para las funciones lineales, o si es necesario
transformarlo. - Los resultados obtenidos son alentadores pues se ha
logrado una mayor independencia cognoscitiva por parte de los
estudiantes y que ellos ocupen el papel protagónico que
les corresponde en el proceso de aprendizaje.
Lograr un aprendizaje efectivo en los estudiantes de la
Preparatoria, es una aspiración a la que no se debe
renunciar, por lo que se buscan vías y nuevos métodos
para posibilitarlo, es por esto que proponemos la
realización de este tipo de trabajo que a la vez propicia
la formación científica pedagógica de los
estudiantes, les muestra una forma
de actuar que es transferible a otros contenidos dentro de la
asignatura y fuera de esta.
La aplicación de la propuesta de ejercicios para
la enseñanza de las funciones, posibilita la solidez de
los conocimientos, y ha demostrado resultados alentadores en su
aplicación práctica, para el desarrollo del proceso
docente educativo en este nivel, luego esta experiencia en la
asignatura de Matemática en la facultad de preparatoria de
la UNAH abre una importante perspectiva en el campo de la
innovación pedagógica.
Este trabajo puede resultar una fuente de
información para los profesores de Preparatoria o de
Preuniversitario incidiendo en el aumento de la calidad de las
clases.
A partir del trabajo realizado se propone:
- Contribuir a despertar el interés
por el aprendizaje de las funciones objeto de estudio de esta
metodología. - Que el presente trabajo, sea tomado como fuente de
referencia por los profesores, con el propósito de
documentarse metodológicamente e informarse acerca de la
variedad de actividades que pueden realizarse para lograr la
eficacia del
aprendizaje.
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Autor:
Lic. Yasser Vázquez Alfonso