Aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas (página 3)

Outro elemento encontrado a partir da nossa pesquisa foi que nas provas parciais e finais nunca ou quase nunca se incluem perguntas que exigem a demonstração de um teorema, o qual foi manifestado pelo 63,51% dos estudantes pesquisados; como pode deduzir-se na tabela II.1.6.2 da pagina seguinte. Os critérios dos estudantes concordam com os resultados do inquerito dos professores a respeito da quantidade de teoremas demonstrados na sla de aula.

Tabela. II.1.6.2. Distribuição dos critérios dos pesquisados em relação a se nas provas parciais e finais incluem-se perguntas que exigem a demonstração de um teorema.

A análise da informação das duas perguntas iniciais do inquérito aos estudantes unidas com as respostas das perguntas semelhantes do inquérito aos professores; revela, em nossa opinião, que as demonstrações de teoremas não constituem um dos objectivos do processo de ensino aprendizagem no curso de Matemática, modalidade regular ano lectivo 2011, do ISCED-Cabinda.

A tabela. II.1.6.3. (da pagina seguinte) contém um resumo da distribuição dos critérios dos pesquisados em relação, se o teorema apresentado está ou não demonstrado. Como se observa na mesma tabela setenta e sete dos cento e quarenta e oito estudantes inqueridos não conseguem a resposta correcta. Na nossa opinião, este facto constitui uma evidência de que em sua maioria os estudantes da modalidade regular do curso de Matemática não têm conhecimentos sobre o que é demonstrar um teorema matemático.

Tabela. II.1.6.3. Distribuição dos critérios dos pesquisados em relação, se o teorema está ou não demonstrado.

A tabela. II.1.6.4. contém um resumo da distribuição dos critérios dos pesquisados em relação ao conhecimento dos métodos para estruturar a demonstração de um teorema. Como se observa na tabela 84,46% dos estudantes pesquisados não respondem a questão, o que constitui uma evidência das limitações que os mesmos apresentam a respeito dos conhecimentos dos métodos que podem ser empregue para estruturar a demonstração de um teorema matemático.

Tabela. II.1.6.4. Distribuição dos critérios dos pesquisados em relação ao conhecimento dos métodos para estruturar a demonstração de um teorema.

Outro facto analisado em nossa pesquisa foi a possibilidade dos estudantes enunciar ou demonstrar um teorema matemático. Observa-se que o 91,89% do total dos estudantes pesquisados, deixa em branco a pregunta realizada. É significativo o facto de que a maioria dos estudantes do curso de Matemática não conseguem enunciar ou demonstrar um teorema Matemático. Este resultado fica recolhido na tabela a seguinte.

Tabela. II.1.6.5. Distribuição dos pesquisados de acordo à possibilidade de enunciar e demonstrar um teorema.

Considerando os resultados gerais das três últimas tabelas pode-se dizer que os estudantes da Licenciatura em Educação, Especialidade Matemática da modalidade regular do ISCED-Cabinda, têm imensas insuficiências no que concerne os teoremas e suas demonstrações.

O último elemento aportado pela nossa pesquisa foi que 100,00% dos estudantes inqueridos manifestam vontade ou de desejo de aprender a demonstrar teoremas matemáticos, elemento este que se converte num dado a favor na implementação de acções que possam ajudar a melhorar a situação que os mesmos apresentam. A tabela a seguir da página seguinte confirma a mesma informação proferida anteriormente.

Tabela. II.6.1.6. Distribuição dos pesquisados de acordo ao gosto em aprender a demonstrar teoremas matemáticos.

A síntese, da análise do Estado actual da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas nos estudantes da Licenciatura em Educação, Especialidade Matemática do ISCED de Cabinda na modalidade regular, ano lectivo 2011, revela que a aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas não é considerado como objectivo primordial deste processo. A mesma análise espelha também que os estudantes têm insuficiências e limitações no tocante ao domínio dos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas Matemáticos e suas demonstrações. Outro elemento recolhido, foi a grande vontade manifestada pelos estudantes pesquisados em aprender as demonstrações de teoremas matemáticos.

No próximo ponto, apresentamos a nossa proposta metodológica tendo em atenção os objectivos preconizados pela nossa pesquisa, para o desenvolvimento do processo de ensino aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas nos Estudantes da Licenciatura em Educação, Especialidade Matemática do ISCED de Cabinda, na modalidade regular ano lectivo 2011.

II.2. Sugestões metodológicas para o desenvolvimento do processo de ensino aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas com os estudantes do curso Matemática.

Tendo em consideração os objectivos traçados na nossa pesquisa, reflectindo nas conclusões do estado actual dos estudantes, visando melhorar o mesmo estado na aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas nos estudantes da Licenciatura em Educação, Especialidade Matemática do ISCED de Cabinda, sugerimos o seguinte:

I. Cada cadeira pode estabelecer um conjunto de teoremas que deve ser demonstrados na sala de aula, pois são representativos dos diferentes variantes que surgem no trabalho com teoremas e suas demonstrações. Este conjunto de teoremas pode-se formar a partir da classificação dos teoremas assumida em nosso trabalho de fim de curso e explicada no Capitulo I do mesmo; ou seja, atendendo ao tipo de enunciado, método ou estilo de demonstração, e modo de exposição da demonstração.

Para demonstrar a possibilidade de concretizar na prática a sugestão anterior, propomos a continuação, como exemplo, o conjunto de teoremas para o Capítulo Espaços Métricos, da cadeira Análise Funcional; a qual se lecciona no quarto ano do curso de Matemática, na modalidade regular.

Teorema: Seja um espaço métrico e (xn) uma sucessão convergente de pontos de X; então o limite de (xn) é único.

Neste caso trata-se de um teorema cujo tipo é de condição necessária ou suficiente, e também de unicidade. O método de demonstração é por redução ao absurdo, e o modo de exposição é indirecta. Quanto ao estilo trata-se da Análise Matemática.

Teorema: Sejam e espaços métricos. Uma função é contínua no ponto se e somente se, para toda sucessão se tem que

Agora trata-se de um teorema cujo tipo é de condição necessária e suficiente. O método de demonstração é por simbolismo e por dualidade, e o modo de exposição é directa. Quanto ao estilo trata-se da Análise Matemática.

Teorema: Sejam um espaço métrico e Então são equivalentes:

• i)

• ii) Dada uma sucessão de números positivos se tem

• iii) Existe uma sucessão emcom

• iv)

Este é um teorema cujo tipo é de condição necessária e suficiente, e também de existência. Em sua demonstração podem apreciar-se os métodos por simbolismo e dualidade e o modo de exposição é directo. Quanto ao estilo trata-se da Análise Matemática.

Partindo do pressuposto de que o desenvolvimento das capacidades para demonstração de teoremas se alcança ao longo prazo, outra sugestão para melhorar o estado actual dos estudantes é:

II. Utilizar o seguinte conjunto de objectivos por ano em relação ao trabalho com os teoremas e suas demonstrações, para avaliar os progressos que alcançam os estudantes. Este conjunto de objectivos podem ser avaliados nas provas parciais e finais.

Primer ano: Enunciar teoremas matemáticos em termos de implicações.

Segundo ano, primero semestre: Clasificar teoremas matemáticos e suas demonstrações de acordo o modo de exposição de sua demonstração.

Segundo ano, segundo semestre: Classificar teoremas matemáticos e suas demonstrações de acordo o método de exposição da demostração.

Terceiro ano: Reproduzir demonstrações de teoremas matemáticos realizados na sala de aula.

Quarto ano: Realizar demonstraçõess de teoremas matemáticos não realizados na sala de aula, mas sim orientados como estudo independente.

Por último consideramos que pode ser de muita utilidade:

III. Incrementar o número de exercicios de demostrações nas aulas prácticas de todas as cadeiras matemáticas.

IV. Incluir sempre nas provas parciais e finais exercícios de demonstração.

• Ao efectuarmos a anélise da situação actual do processo de ensino aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas nos estudantes da Especialidade Matemática da modalidade regular do ISCED de Cabinda; manifestou a existência de insuficiências e litações nos estudantes no tocante os teoremas matemáticos e suas demonstrações. Também comprovou-se que os teoremas e suas demonstrações não são objectivos essenciais do processo de ensino aprendizagem desenvolvido pela maioria dos professores do ISCED de Cabinda.

O desenvolvimento das capacidades para demonstração de teoremas se alcança ao longo prazo; nesta conformidade, para melhorar o estado actual que apresenta os estudantes, sugerimos estabelecer um conjunto de teoremas por Cadeira que ao longo de cada ano lectivo devem ser demonstrados na sala de aula, e um conjunto de objectivos por ano em relação ao trabalho com os teoremas e suas demonstrações. Em nosso trabalho ficou demonstrada a possibilidade de concretizar na prática essas sugestões.

Conclusões Gerais.

• O desenvolvimento da nossa investigação comprovou uma vez mais que o problema das dificuldades dos estudantes relacionadas com a demonstração de proposições matemáticas tem plena vigência. Particularmente no ISCED de Cabinda, ainda não se alcançam os níveis esperados de conhecimento e desenvolvimento das habilidades nos estudantes do curso de Matemática, na modalidade regular, em relação a aprendizagem de teoremas Matemáticos e suas demonstrações.

• Num processo de formação de professores de Matemática, o trabalho com os teoremas e suas demonstrações é fundamental na formação dos estudantes, pois exerce uma forte influência no desenvolvimento do pensamento e da linguagem dos estudantes. Esta é uma condição necessária para que no futuro, os professores em formação possam contribuir na formação intelectual de seus alunos. Entretanto, nosso estudo comprovou que o trabalho com os teoremas e suas demonstrações não constitui um objectivo fundamental dentro do processo de ensino aprendizagem que tem lugar na modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda.

• Para contribuir a superar as insuficiências e limitações dos estudantes em relação a aprendizagem de teoremas Matemáticos e suas demonstrações, é necessário um trabalho consciente e sistemático. Neste sentido podem resultar de muita utilidade que as diferentes cadeiras estabeleçam um conjunto de teoremas que devem ser demonstrados na sala de aula, fixarem objectivos por ano que permitam avaliar o nível de desenvolvimento que vão alcançando os estudantes, incrementarem o número de exercícios de demonstrações nas aulas práticas de todas as cadeiras matemáticas e incluírem sempre nas provas parciais e finais exercícios de demonstrações. Em nosso trabalho ficou demonstrada a possibilidade de se concretizar na prática os dois primeiros aspectos assinalados anteriormente.

Sugestões

Que seja Implementada a nossa proposta medológica e avaliar o impacto da sua introdução para formação do futuro professor de Matemática no ISCED de Cabinda.

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Dedicatória

Dedicamos este trabalho a nossa família, colegas, amigos e, a todos aqueles que directa ou indirectamente contribuíram ou forneceram o seu apoio moral, principalmente ao nosso tutor Dr. PHD Pedro Osmany Laffita Azpiazú por tudo quanto fez.

Agradecimentos

Em primeiro lugar agradecemos a Deus o omnipotente e salvador que nos iluminou nesta grande e difícil tarefa de aprender; de igual modo, agradecemos, também, a Direcção do ISCED, e aos professores, em especial ao nosso tutor Dr.Pedro Osmany Laffita Azpiazú, pela paciência e zelo com que tutorou este trabalho que hoje tornou-se uma realidade no seio.

São extensos de certo modo aos colegas de turma, Domingos Bindele, Estévão Lando,Januário Mbuiti, Lukombo Matondo, João Pedro, Fita Barros, Arnaldo, Kelson, Claúdio, Natalício, Hespanhol, Agostinho, Moutu, Manuela, Ariel, Eunice, e outros pela colaboração prestada nos estudos.

Autor:

Joaquim Gomes Gomes

joaquimgomestoco[arroba]yahoo.com.br