Aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas (página 2)

O campo de acção a partir do qual se trabalha em função de alcançar o objectivo deste trabalho foi:

CAMPO DE ACÇAO

O processo de ensino aprendizagem dos teoremas matemáticos e suas demonstrações.

IMPORTÃNCIA E ACTUALIDADE.

O tema em estudo é de extrema importância e actualidade, visto que irá contribuir na resolução das insuficiências e limitações dos estudantes da Licenciatura em Educação, Especialidade Matemática, modalidade regular do ISCED de Cabinda, no tocante ao domínio dos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas matemáticos e suas demonstrações; também se considera actual por ser o primeiro trabalho do fim de curso no ISCED de Cabinda que aborda sobre os teoremas matemáticos e suas demonstrações.

As perguntas científicas que orientaram a realização do nosso trabalho de fim de curso foram:

PERGUNTAS CIENTÍFICAS

• 1. Quais os elementos gnosiológicos, didácticos e pedagógicos podem constituir em fundamentos teóricos para um estudo sobre os teoremas matemáticos e suas demonstrações, na modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda?

• 2. Que instrumentos podem ser utilizados para conhecer o estado actual dos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática no ISCED de Cabinda, em relação aos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas matemáticos e suas demonstrações?

• 3. Qual é o estado actual dos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda, no tocante aos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas matemáticos e suas demonstrações?

• 4. Como contribuir para a resolução das insuficiências e limitações dos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda, no tocante ao domínio dos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas matemáticos e suas demonstrações?

As perguntas anteriores geraram as seguintes tarefas de investigação:

TAREFAS

• 1. Estabelecer os fundamentos para um estudo sobre os teoremas matemáticos e suas demonstrações, na modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda.

• 2. Elaborar os instrumentos para conhecer o estado actual dos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda, em relação aos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas matemáticos e suas demonstrações.

• 3. Diagnosticar o estado actual dos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda, no tocante aos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas matemáticos e suas demonstrações.

• 4. Elaborar sugestões metodológicas para contribuir na resolução das insuficiências e limitações dos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda, no tocante ao domínio dos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas Matemáticos e suas demonstrações.

As tarefas anteriores foram desenvolvidas a partir dos seguintes métodos e técnicas de investigação:

MÉTODOS E TÉCNICAS

• Análise - síntese, indução - dedução e comparação; para sistematizar a informação encontrada na literatura e estabelecer os fundamentos para o nosso estudo sobre os teoremas matemáticos e suas demonstrações.

• Pesquisa, para obter os dados primários a respeito do estado actual dos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda, no tocante aos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas matemáticos e suas demonstrações.

• Técnicas estatísticas; para descrever os dados obtidos a partir das pesquisas realizadas.

• Sistemático ao elaborar os instrumentos para conhecer o estado actual dos estudantes e ao elaborar sugestões para contribuir na resolução das insuficiências e limitações dos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática do ISCED de Cabinda, no tocante ao domínio dos conhecimentos e habilidades associados aos teoremas Matemáticos e suas demonstrações.

Capítulo I. Fundamentos teóricos e metodológicos para um estudo sobre a aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas.

O presente capítulo abrange os fundamentos matemáticos, didácticos e psicológicos obtidos a partir da abordagem teórica e crítica de algumas concepções sobre os métodos de aprendizagem de demonstração de teoremas. Em primeiro lugar, debruçamos sobre os conceitos e definições de teoremas, lema, corolário e demonstração; logo abordamos as classificações das demonstrações, suas funções e importância do trabalho na escola com teoremas e suas demonstrações, para depois falarmos das investigações das demonstrações de teoremas no campo da Didáctica da Matemática. Finalmente expomos o instrumento aplicado para conhecer o estado actual da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas nos estudantes de matemática do ISCED de Cabinda.

I.1. Teoremas matemáticos e suas demonstrações. Resultados da revisão bibliográfica.

Neste ponto abordaremos os fundamentos gnosiológicos, didácticos e pedagógicos para o trabalho com teoremas e suas demonstrações, os quais servirão de apoio para as análises que efectuaremos no segundo capítulo deste nosso trabalho.

I.1.1. Fundamentos gnosiológicos, didácticos e pedagógicos para o trabalho com teoremas e suas demonstrações.

Os conceitos de teorema e demonstração têm estado e estão estreitamente relacionados. Na história da Matemática, as demonstrações sempre têm constituído um procedimento típico para a verificação das proposições verdadeiras estabelecidas nesta ciência, proposições que no sentido geral aparecem expressas nos teoremas.

Na literatura consultada, encontramos diferentes definições de teoremas matemáticos; tais como:

• Teorema é uma afirmação que pode ser demonstrada verdadeira por aceitar operações e argumentos matemáticos. (Teorema, s/d, p.1).

• Teoremas são proposições verdadeiras da forma "P implica Q", sendo P e Q também são proposições (Felix e Rezende, 2009, p.7, seguindo a G. Avila).

• Teoremas: são aquelas afirmações que podem ser demonstradas como verdadeiras dentro de um marco lógico. (Definición de Teorema, s/d, p.1).

• Teorema: Proposição demonstrável logicamente partindo de axiomas ou de outros teoremas já demonstrados mediante regras de inferência aceitas. (García, 2008, p. 27).

• Ballester e outros (2000) assinalam que em exposição sinténtica de uma teoria Matemática, recebem o nome de teorema, aquelas proposições verdadeiras mais importante da teoria, cujo valor de verdade pode ser estabelecido partindo dos axiomas e dos conceitos básicos (Ballester e outros, 2000, p.321).

Como se pode observar, as definições anteriores, concordam em que um Teorema é uma proposição verdadeira, demonstrada em uma teoria Matemática.

Ballester e outros (2000), assinalam que para destacar a relevância de uns teoremas com respeito a outros, ou para indicar relações entre eles de acordo com a ordem escolhida para sua exposição, se utilizam também para os teoremas as denominações de Lema e Corolário. (Ballester e outros, 2000, p.321). Estes últimos tipos de teoremas aprecem definidos em Goulart (s/d):

• Corolário é uma consequência directa de outro teorema ou de uma definição, muitas vezes tendo suas demonstrações omitidas, por serem simples. (Goulart, s/d, p. 12).

• Lema é um pré-teorema, um teorema que serve para ajudar na prova de outro teorema maior. A distinção entre teoremas e lemas é um tanto quanto arbitrária, uma vez que grandes resultados são usados para provar outros. (Goulart, s/d, p. 12).

Outro elemento que aprecia-se nas definições de teoremas estabelecidas anteriormente é que estreitamente vinculado ao teorema, encontra-se a sua demonstração.

Ibañes e Ortega (s/d), depois de fazerem uma incursão pela história das demonstrações na Matemática, concluem que:

• As exigências de rigor na argumentação Matemática modificam-se ao longo da história, como consequência das mudanças nos conhecimentos e necessidades dos Matemáticos. (Ibanes e Ortega, p.7).

• Os modelos de demonstração dependem da época e das pessoas que desenvolvem o pensamento matemático. "Distintas argumentações, comprovações, justificações ou provas têm sido utilizadas para justificar ou explicar os teoremas". (Ibanes e Ortega, p.7).

• As ideias a cerca das demonstrações matemáticas, encontram-se em constante desenvolvimento."Não se deve pensar que a ideia actual de demonstração será a última. Sempre é possível introduzir melhor, propor outro enfoque". (Ibãnes e Ortega, p.7).

• A evolução da linguagem e o simbolismo da Matemática têm muito a ver com o estilo e o modo de representar as demonstrações. (Ibãnes e Ortega, p.7).

Da mesma forma que com o conceito de teorema, na literatura consultada encontramos diferentes definições a respeito o que é demonstrar um teorema. Adiante avaliaremos algumas delas.

Félix e Rezende (s/d), citando Imenes e Lellis, assinalam que demonstrar ou fazer uma demonstração em Matemática significa utilizar-se de uma sequência de argumentos lógicos que partem de factos conhecidos e provam que outro facto é verdadeiro (Félix e Rezende, s/d, p. 2).

Por outro lado, Almouloud (s/d), citando a N. Balacheff considera que as demonstrações são tipos particulares de provas. Para este autor as provas são explicações aceitas por outro num determinado momento, podendo ter o estatuto de prova para determinado grupo social, mas não para outro. As demonstrações são provas particulares com as seguintes características: são as únicas aceitas pelos matemáticos; respeitam certas regras, alguns enunciados são considerados verdadeiros (axiomas), outros são deduzidos destes ou de outros anteriormente demonstrados a partir de regras de dedução tomadas num conjunto de regras lógicas; e por último trabalham sobre objectos matemáticos com um estatuto teórico, não pertencentes ao mundo sensível, embora a ele façam referência. (Amouloud, s/d, 3).

Na enciclopédia livre wikipedia também aparece um conceito de demonstração matemática. Assim, assinala-se que, uma demonstração é um racionamento feito com uma lógica válida, que progressa partindo de ideias certas até afirmação que se está apresentando. estes passos devem estar fundamentados na aplicação de regras de dedução, fundandas em axiomas ou teoremas anteriormente demonstrados.(Demostración Matemática, s/d, p.1).

Outra definição foi encontrada na obra de Marrtínez (2001). Este autor citando a M. H. Knowless escreve que "Uma demonstração em uma teoria matemática é uma sequência de proposições, cada uma das quais é ou um axioma...ou uma proposição que foi derivada dos axiomas iniciais pelas regras de inferência da teoria" (Martínez, 2001, p. 30-31).

Como pode observar-se nas definições anteriores, uma demonstração, é uma sucessão finita de proposições certas obtidas uma de outra por meio de certas regras. Esta ideia recolhida nas definições anteriores fica bem expressa na definição de Ballester e outros (2000), os quais assinalam que, o procedimento legítimo para determinar o valor verdadeiro de uma proposição, se chama demonstrar.

Ballester e outros (2000) escrevem que se X é um sistema de axiomas; uma demonstração de um teorema H0 é uma sucessão finita de proposições H1, H2,.,Hn, H0 que satisfazem para cada termo Hi as seguintes condições:

• 1. Hi pertence a X,

• 2. Hi pode obter-se a partir de proposições verdadeiras precedentes ou de expressões contidas em X, utilizando regras de inferência lógica.

Concordamos com a definição de Ballester e outros (2000), por ser mais abrangente na nossa opinião, razão pela qual é assumida para o nosso trabalho de fim curso.

As demonstrações de teoremas matemáticos estão ligadas aos procedimentos ou métodos para o seu efeito, por isso a seguir passaremos a descrever algumas classificações dos métodos de demonstração de teoremas encontradas na literatura consultada pela nossa pesquisa. É assim que Ballester e outros (2000), assinalam que as demonstrações empregues na aprendizagem da Matemática, atendendo a maneira de estruturá-las, podem classificar-se em demonstrações directas e indirectas. As directas são aquelas em que se parte da premissa da proposição a demonstrar, e depois de um número finito de passos realizados sobre a base de regras de inferência lógica se obtém a tese. Por sua parte as indirectas são aquelas em que se supõe verdadeira a negação lógica da proposição a demonstrar e se verifica que esta hipótese conduz a uma contradição, de onde se infere que o suposto é falso. (Ballester e outros, 2000, p.329).

Ballester e outros (2000) consideram que a demonstração por construção de exemplos e a indução completa são casos especiais de demonstrações directas. (p.327, 328).

Martínez (2001) classifica as demonstrações atendendo ao grau de formalidade de sua representação. Neste caso, o autor assinala que "Na matemática profissional se utilizam dois tipos de demonstração. Por um lado uma demonstração informal, uma argumentação de carácter dedutivo, mas sustentada na intuição, no uso de variados procedimentos informais (elementos gráficos, relações analógicas, generalizações indutivas, etc.). Por outro lado, uma demonstração de carácter dedutivo formal, efectuando uma estreita derivabilidade axiomática, formal. Falaremos de demonstração dedutiva, informal e formal, respectivamente, para nos referir a estes dois modos de demonstração matemática." (Martínez, 2001, p.35).

Ibañes e Ortega (s/d), assinalam que as demonstrações podem classificar-se de diferentes maneiras, partindo do enunciado do teorema, da própria demonstração ou da forma de sua exposição (Ibañes e Ortega s/d, p.1, 2). Neste sentido os autores estabelecem que as demonstrações podem-se identificar por tipo, método ou estilo e modo. Assim:

• Tipo se atendermos a estrutura lógica do enunciado do teorema, temos demonstrações de:

• Em relação a implicação: De condição necessária ou suficiente e de condição necessária e suficiente.

• Em relação ao quantificador existencial (universal): existência simples, de impossibilidade (de não existência), de existência e unicidade.

• Método, se atendermos a um ou outro procedimento para a demonstração:

• Por simbolismo,

• Por casos,

• Por redução ao absurdo,

• Por indução completa,

• Construtivo (exemplo ou contra exemplo),

• Por analogia,

• Por dualidade.

• Estilo, se atendermos aos procedimentos matemáticos:

• Geométrico,

• Algébrico,

• Das coordenadas,

• Vectorial,

• De Análise Matemática, probabilístico, topológico, etc.

• Modo, se atendermos ao procedimento de exposição:

• Sintético ou directo

• Analítico ou indirecto.

Como podemos constatar nas classificações anteriores, a que oferecem Ibañes e Ortega (s/d), é muito mais completa que as anteriores, pois em certo sentido as engloba. Razão pela qual em nosso trabalho de fim de curso assumimos a classificação apresentada pelos autores Ibañes e Ortega (s/d), por nos aparecer a mais adequada.

As diferentes funções e importância do trabalho na escola com teoremas e suas demonstrações serão discutidas a seguir.

Ao consultar a literatura podemos observar que o papel da demonstração em matemática tem suscitado polémica, e existem diversas opiniões convergentes e divergentes sobre o assunto.

Santos e Rodrigues (s/d), assinalam que de acordo a M. De Villiers as funções da demonstração em Matemática são verificação/convencimento (a cerca da verdade de uma dada afirmação), explicação (a cerca do motivo por que é verdadeira), descoberta (de novos resultados), sistematização (organização de vários resultados num sistema dedutivo de axiomas, conceitos principais e teoremas), comunicação (transmissão do conhecimento matemático) e desafio intelectual (gratificação resultante da construção de uma demonstração). Não obstante, para outros autores como G. Hanna, H. N. Janhke, R. Hersh e para o National Council of Teachers of Mathematics; as múltiplas funções da demonstração em matemática emergem como produto de um longo desenvolvimento histórico e que no contexto de sala de aula, os alunos começam por lidar com a demonstração nas suas duas funções essenciais: verificação e explicação (Santos e Rodrigues, s/d, p. 4).

Por outro lado, Teixeira (2008) escreve que M. De Villiers contesta a ideia generalizada de associar a demonstração unicamente ou primordialmente à sua função de verificação/convencimento. Para este autor, a demonstração tem múltiplas funções, que não são mutuamente exclusivas, considerando errado ter-se uma visão unilateral deste assunto. (Teixeira, 2008, p. 147-148).

No trabalho de Bravo e Arrieta (s/d) se menciona outra função das demonstrações que se realizam na escola. Assim, estes autores assinalam que Bell considera que a iluminação também constitui uma função da demonstração, entendendo a iluminação no sentido de que uma boa demonstração deve proporcionar ideias do por que é certa. (Bravo e Arrieta, s/d, p. 1).

Ainda pode-se ler no trabalho de Bravo e Arrieta (s/d), que G. Hanna seguindo ao Bell e do Villiers incorpora a função de construção de uma teoria empírica, a de exploração do significado de uma definição ou a consequência de uma hipótese e a incorporação de um novo conhecimento feito a uma nova estruturação; no entanto Reid propôs cinco dimensões de uma demonstração, entre as que se destaca a necessidade e o rol que jogam na comunidade matemática, considerando a necessidade como o propósito ou a função da demonstração e a valora como explicação, exploração e verificação fundamentalmente, embora entrevista também a iluminação e a compreensão. (Bravo e Arrieta, s/d, p. 2).

Outro autor que incorpora novas funções da demonstração na sala de aula é Recio (2001). Este autor distingue, além das funções mencionadas, duas novas funções que poderiam incorporar-se às já citadas:

1) Como parte essencial do contrato didáctico em Matemática: por uma parte o professor se vê obrigado a demonstrar em aulas e o aluno atento a descobrir qualquer engano na prova que lhe apresentam.

2) Uma fonte insubstituível de entretenimento: considera a análise e a compreensão das mesmas pelos estudantes como formas peculiares de raciocinar e usar os factos básicos da teoria que explica. (Recio, 2001, p. 16-17).

Em nossa opinião as funções assinaladas com antecedência abrangem um amplo aspecto de razões pelas quais devem-se trabalhar as demonstrações na escola. Não obstante, consideramos que todas estas funções têm sua origem em análises realizadas a partir das características da Matemática como ciência, e não emprestam maior atenção ao papel que o ensino da Matemática pode desempenhar na formação geral dos estudantes. É por isso que consideramos importante também destacar as funções e importância do trabalho com as demonstrações de teoremas desde a perspectiva que faz Ballester e outros (2000).

Para estes autores o trabalho com os teoremas e suas demonstrações é fundamental na formação multilateral dos alunos, pois exerce uma forte influência no desenvolvimento do pensamento e da linguagem dos estudantes, através da sua influência no desenvolvimento de capacidades mentais generais para argumentar, fundamentar, refutar, inferir e deduzir. Escrevem também Ballester e outros (2000) que muito importante resulta também a contribuição do trabalho com os teoremas e suas demonstrações à formação da concepção científica do mundo nos alunos, ao familiarizá-los com o carácter lógico dedutivo da matemática, com suas relações internas elementares e suas possibilidades de aplicação; mas também ao desenvolver neles convicções e rasgos de conduta como a tenacidade, rigorosidade em seus raciocínios e a atitude crítica. (Ballester e outros, 2000, p. 367-368).

Unindo as funções que assinalam Ballester e outros (2000) com as mencionadas anteriormente neste trabalho, obtém-se uma visão bastante ampla do papel e as funções que desempenham na escola o trabalho com os teoremas e suas demonstrações. Este pode contribuir muito na formação integral dos estudantes, sobre a base de contribuir a uma sólida formação matemática, e também de rasgos e características desejáveis em um jovem de nossa sociedade.

No próximo ponto do nosso trabalho vamos apresentar alguns trabalhos investigativos que se realizam dentro da Educação Matemática e que têm relação com as demonstrações de teoremas matemáticos.

I.1.2. Investigações sobre as demonstrações de teoremas matemáticos no campo da Didáctica da Matemática

A nível mundial se reconhece o problema das dificuldades dos estudantes e professores relacionadas com a demonstração de proposições matemáticas. Entre os autores que concordam com essa tese podemos mencionar, Jahn e outros (s/d), Almouloud (s/d), Loureiro e Bastos (s/d), Martínez (2001), Santos e Rodrigues (s/d), Ibañes e Ortega (s/d), entre outros. Vejamos agora como alguns destes autores reflectem as dificuldades vinculadas à demonstração de teoremas matemáticos.

Almouloud (s/d) escreve que numa actividade com os professores de Matemática "a professora coordenadora do grupo colocou à disposição dos professores livros didátcicos das diversas séries do Ensino Fundamental II, de vários autores. A tarefa consistia em identificar qualquer tipo de demonstração e discutir a viabilidade de ensino dessa demonstração em sala de aula. Antes de a dupla escolher um livro, houve um debate no qual percebemos que uma das grande dificuldades era saber o que é uma demonstração" (p. 14). Nessa mesma linha de pensamento, Jahn e outros (s/d) em seu estudo constataram que os professores tinham um critério de que as demonstrações formais são inacessíveis aos alunos (p.19).

Referindo-se aos estudantes, Teixeira (2008) assinala que "Apesar da importância que ultimamente tem sido reconhecida à demonstração de teorema na matemática escolar, no seio da comunidade da educação matemática, os estudos empíricos incidentes nesta temática evidenciam francas dificuldades dos alunos, desde o nível mais básico até ao nível superior, quer na compreensão da importância da demonstração quer na sua construção" (p.18). Esta autora menciona um conjunto de pesquisadores que têm constatado o facto das dificuldades que se aprensentam no trabalho com as dmonstrações de teoremas, entre eles ,Hanna e Jahke, Boavida, Brocardo, Chazan e outros.

Outros autores onde encontramos informação sobre a situação dos estudantes em relação as demonstrações de teoremas matemáticos são; Loureiro e Bastos (s/d), que citando a D. Wheeler quem fazia referência a um programa para o ensino das demonstrações estabelece que ".é um programa terrivelmente sofisticado. Não admira que não seja muito bem ensinado, e que todos os alunos tenham dificuldade em apanhá-lo. Nunca ninguém analisou a dificuldade disto tudo, e a maior parte dos professores não estão conscientes de todas as exigências cognitivas da demonstração" (p.15).

Por outro lado, Ibañes e Ortega (2004) assinalam que nos últimos anos os resultados do trabalho investigativo, no campo da Didáctica da Matemática, relacionados com as demonstrações de teoremas podem dividir-se em quatro grandes grupos:

• Investigações gerais sobre a aprendizagem das demonstrações.

• Investigações sobre as funções das demonstrações.

• Investigações que definem níveis de demonstração.

• Investigações sobre a demonstração na sala de aula. (Ibañes e Ortega, 2004, p.7-8).

Falando do primeiro grupo, Ibañes e Ortega (2004), escrevem que estas investigações se caracterizam por apresentarem uma visão geral do problema, recolher opiniões e factos de outros investigadores, ressaltar a importância da demonstração na educação matemática, ou abordar vários aspectos (p.8). Entre os autores que têm investigado nesta linha, Ibañes e Ortega (2004) mencionam: G. Arsac, D. Alibert e M. Thomas, T. Dreyfus e outros.

Fazendo referência ao segundo grupo Ibañes e Ortega (2004), assinalam que estes trabalhos tratam de responder a pergunta, para que servem as demonstrações? Mencionando ao A. W. Bell, M. de Villies, R. Hersh, e outros; como representantes deste grupo. (p. 8).

No ponto anterior do nosso trabalho, abordamos sobre as funções das demonstrações de teoremas, citamos alguns autores que têm trabalhado nesta linha de pesquisa e que também podem se incluir neste segundo grupo, como é o caso de Santos e Rodrigues (s/d), Teixeira (2008), Bravo e Arrieta (s/d) e Ballester e outros (2000).

Por outra parte ao abordarem sobre as investigações que definem níveis de demonstração isto é, o terceiro grupo, Ibañes e Ortega (2004) partem do princípio de que a aprendizagem da demonstração apresenta muita dificuldade, nesta óptica os investigadores distinguem diferentes dimensões e níveis, e buscam estratégias úteis para os alunos. Neste grupo, Ibañes e Ortega (2004) mencionam: A. W. Bell, M. Miyazaki, G. Harel e L. Sowder e outros (p. 9).

Por último, fazendo referência ao quarto grupo, Ibañes e Ortega (2004) afirmam que este trabalho tem como principal finalidade divulgar experiência com alunos na aprendizagem da demonstração de teorema, recolhendo os objectivos, a metodologia empregada, as dificuldades encontradas nos estudantes, as categorias da análise empregada etc. Neste grupo Ibañes e Ortega (2004) mencionam: P. Bero, D. Chazan e outros. (p. 10).

Como o nosso trabalho de fim de curso defende a importância do trabalho com as demonstrações de teoremas na escola, detecta as dificuldades encontradas nos estudantes e fará proposta para melhorar a situação que apresenta os estudantes no tocante aos teoremas e suas demonstrações; podemos dizer que a nossa investigação tem pontos de contacto com o primeiro, terceiro e quarto dos grupos estabelecidos por Ibañes e Ortega (s/d).

No próximo ponto, abordaremos sobre os instrumentos utilizados para se conhecer o estado actual dos estudantes da Licenciatura em Educação, Especialidade Matemática do ISCED de Cabinda, no tocante a aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas.

I.2. Instrumentos para conhecer o estado actual da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas.

Para efectuar a análise do estado actual se projectou utilizar dois instrumentos: uma pesquisa aos professores de Matemática do ISCED de Cabinda e uma pesquisa aplicada aos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática ano lectivo 2011. Os objectivos da pesquisa aos professores foram:

• 1. Obter informação sobre o nível de desenvolvimento das habilidades relacionadas com as demonstrações de teoremas matemáticos nos estudantes da modalidade regular do curso de Matemática.

• 2. Conhecer se a aprendizagem das demonstrações de teoremas constitui um dos objectivos a alcançar no processo de ensino e aprendizagem das cadeiras que desenvolvem.

Por outro lado, a pesquisa feita aos professores desenhou-se baixo na óptica de uma escala de tipo Likert, na qual os elementos do questionário admitiam cinco possíveis respostas. Assim, para o primeiro objectivo o elemento e as possíveis respostas foram:

Considera que o nível de desenvolvimento das habilidades relacionadas com as demonstrações de teoremas matemáticos, nos estudantes do curso de Matemática na modalidade regular no ano lectivo 2011, pode ser catalogado de:

Muito Baixo ( ) Baixo ( ) Médio ( ) Alto ( ) Muito Alto ( )

Para o segundo objectivo se desenharam dois elementos; os quais, desde nossa perspectiva, permitiriam estabelecer se o tratamento sobre as demonstrações de teoremas matemáticos constituísse um dos objectivos a alcançar no processo de ensino aprendizagem das cadeiras que desenvolvem os professores. Os elementos desenhados e as possíveis respostas foram:

Nas cadeiras que frequentemente lecciona, a quantidade de teoremas que demonstre na sala de aula é de:

0 ( ) 1 a 5 ( ) 6 a 10 ( ) 10 a 20 ( ) mais de 20 ( ).

Nas provas parciais e finais das cadeiras que frequentemente lecciona incluí perguntas que exigem a demonstração de um teorema?

Quase sempre ( ) Quase Nunca ( )

Sempre ( ) Nunca ( )

Algumas Vezes ( )

Para além dos aspectos assinalados anteriormente, resultou importante conhecermos o nível profissional dos professores pesquisados, já que isso constituiria uma evidência a favor da confiabilidade dos critérios que emitem. Por esta razão, consideramos pertinente incluirmos no questionário destes, uma secção dirigida a obter informação a respeito das características dos mesmos; entre elas: anos de experiência como professor de Matemática no ISCED de Cabinda, título académico e/ou científico e categoria docente que possuí. E para concluirmos o questionário dirgido aos docentes, também consideramos oportuno oferecermos aos professores pesquisados a possibilidade de emitirem algum comentário adicional, para o qual decidimos incluir no instrumento de pesquisa uma secção de Observações ou sugestões.

Com todos os elementos assinalados anteriormente o instrumento para pesquisar aos professores ficou desenhado como se mostra no Anexo 1.

Em relação ao instrumento para pesquisar aos estudantes, seus objectivos foram:

• 1. Complementar a informação brindada pela pesquisa aos professores, no tocante se a aprendizagem das demonstrações de teoremas constituísse um dos objectivos a alcançar no processo de ensino aprendizagem das cadeiras que desenvolvem.

• 2. Avaliar o nível de domínio de conhecimentos e habilidades associadas a às demonstrações de teoremas matemáticos.

Para alcançarmos o primeiro objectivo decidimos incluir no questionário elementos de tipos Likert semelhantes aos incluídos na pesquisa dos professores; ou seja:

Durante todo o tempo que vem estudando no ISCED Cabinda a quantidade de teoremas demonstrados pelos professores na sala de aula é de:

0 ( ) 1 a 5 ( ) 6 a 10 ( ) 10 a 20 ( ) mais de 20 ( ).

Nas provas parciais e finais aparecem perguntas que exigem a demonstração de um teorema?

Quase sempre ( ) Quase Nunca ( )

Sempre ( ) Nunca ( )

Algumas Vezes ( )

E para o segundo objectivo da pesquisa aos estudantes consideramos pertinente incluirmos vários itens, que em seu conjunto permitissem estabelecer o nível de domínio de conhecimentos e habilidades associadas às demonstrações de teoremas matemáticos ou seja, incluímos quatro itens, destinados a:

• Avaliar, num caso simples, se um conjunto de afirmações verdadeiras pode ser considerado como demonstração de certa proposição.

• Avaliar o nível de conhecimentos dos estudantes a respeito dos métodos de estruturar as demonstrações.

• Conhecer se os estudantes são capazes de reproduzir e demonstrar algum teorema matemático.

• Conhecer se os estudantes manifestam interesse para aprender a demonstrar teoremas matemáticos.

Da mesma forma que na pesquisa aos professores, consideramos pertinente também incluirmos duas secções a mais no instrumento de pesquisa aos estudantes; uma dirigida a obter informação sobre características gerais dos pesquisados (ano e modalidade na qual estudam) e outra que permitisse aos pesquisados emitir qualquer critério em relação ao tema em estudo e a metodologia utilizada para abordá-lo.

Com todos os elementos assinalados anteriormente o instrumento para pesquisar os estudantes ficou desenhado como se mostra no Anexo 2.

Conclusões do Capítulo

• Na história da Matemática, as demonstrações sempre têm constituído um procedimento típico para a verificação das proposições verdadeiras estabelecidas nesta ciência, proposições que no sentido geral aparecem expressas nos teoremas. Esta verdade também se manifesta no ensino da Matemática.

• A nível mundial se reconhece o problema das dificuldades dos estudantes e professores relacionadas com a demonstração de proposições matemáticas.

• O trabalho na escola com os teoremas e suas demonstrações é fundamental na formação multilateral dos estudantes, pois exerce uma forte influência no desenvolvimento do pensamento e da linguagem dos estudantes, isto é, desenvolve as capacidades mentais generais e específicas da Matemática nos estudantes para argumentar, fundamentar, refutar, inferir e deduzir. Dali a importância que tem no desenvolvimento dos futuros professores de Matemática das habilidades relacionadas com os teoremas e suas demonstrações.

• Tendo em conta que o professor e estudante constituem os dois componentes pessoais fundamentais do processo do ensino aprendizagem, para conhecer o estado actual da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas matemáticos nos estudantes, projectou-se uma pesquisa dirigida aos professores de Matemática do ISCED de Cabinda e uma outra dirigida aos estudantes de Matemática da mesma Instituição.

Capítulo II. A aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas com os estudantes da Licenciatura em Educação, Especialidade Matemática do ISCED de Cabinda na modalidade regular, ano lectivo 2011.

Introdução.

Neste capítulo se incluem os principais resultados de nosso trabalho de pesquisa. Primeiro se apresenta o estado actual da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas, sobre a base dos resultados do inquérito aplicado aos professores e também dos resultados do inquérito aplicado aos estudantes. Estes últimos resultados apresentam-se por ano, e também de forma geral. A segunda parte do capítulo contém as nossas sugestões metodológicas para o desenvolvimento do processo de ensino aprendizagem com os estudantes da Lincenciatura em Educação, Especialidade Matemática, do ISCED-Cabinda, nas tocantes as demonstrações de teoremas.

II.1. Estado actual da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas.

A análise do estado actual da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas, realizou-se a partir de duas acções: uma pesquisa dirigida aos professores de Matemática do ISCED-Cabinda (Anexo 1) e uma pesquisa aplicada aos estudantes da Lincenciatura em Educação, Especialidade Matemática, do ISCED-Cabinda, modalidade regular, ano lectivo 2011 (Anexo 2).

Os objectivos da pesquisa aos professores foram: obter informação sobre o nível de desenvolvimento das habilidades relacionadas com as demonstrações de teoremas matemáticos nos estudantes da Lincenciatura em Educação, Especialidade Matemática, do ISCED-Cabinda da modalidade regular ano lectivo 2011, e também conhecer se a aprendizagem das demonstrações de teoremas constituísse um dos objectivos a alcançar no processo de ensino aprendizagem das cadeiras que desenvolvem; informação que se complementaria com a contribuída pela pesquisa aplicada aos estudantes.

Por outra parte, a pesquisa aplicada aos estudantes tinha por objectivos: complementar a informação brindada pela pesquisa aos professores, e também avaliar o nível de domínio de conhecimentos e habilidades associadas às demonstrações de teoremas matemáticos.

O Departamento de Ensino e Investigação das Ciências Exactas do ISCED-Cabinda tem catorze professores de Matemática, (dado contribuído pelo Departamento supracitado), que leccionem as cadeiras de Matemática no curso de Matemática. Nossa intenção era trabalhar com o total de professores, mas só foi possível trabalhar com doze deles, o que representa 85,71% desta população. Em nossa opinião a quantidade de professores inqueridos é suficiente para obtermos uma ideia bastante próxima à realidade da opinião do total dos professores que trabalham no curso de Matemática na ordem do estado actual da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas.

Por outro lado, no ano lectivo 2011, a modalidade regular da Especialidade Matemática do ISCED-Cabinda tinha uma matrícula de cento e cinquenta e três estudantes. (dado contribuído pelo DAAC do ISCED de Cabinda). Nossa intenção era também trabalhar com todos os estudantes do curso, mas só foi possível trabalhar com cento e quarenta e oito, o que representa 96,73% da população dos estudantes. Em nosso critério a quantidade dos estudantes seleccionados é suficiente para obtermos uma ideia bastante próxima da que emitiria o total dos estudantes a respeito da aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas. A seguinte tabela contém a distribuição por ano de estudo dos estudantes pesquisados.

Tabela II.1.1. População e amostra no estudo realizado.

Ano	Matrícula da Turma no ano lectivo 2011*		Total de Pesquisados		Frequência Relativa
I	42		42		100,00%
II	33		30		90,91%
III	52		50		96,15%
IV	26		26		100,00%
TOTAL	153		148		96,73%

*Dado contribuído pelo DAAC do ISCED de Cabinda.

Entretanto, foram analisados em primeiro lugar os resultados da pesquisa aos professores e mais adiante os resultados da pesquisa aos estudantes. Apresenta-se a seguir os resultados da pesquisa aos professores.

II.1.1. Resultados da pesquisa aos professores.

A tabela abaixo apresenta a distribuição dos pesquisados a respeito os anos de experiência como professores de Matemática no ISCED-Cabinda.

Tabela II.1.1.1. Distribuição dos pesquisados segundo os anos de experiência como professores de Matemática no ISCED de Cabinda.

Anos de experiência	Frequência Absoluta	Frequência Relativa
0-2	3	25,00%
3-5	2	16,67%
6-10	4	33,33%
Mais de 10	3	25,00%
TOTAL	12	100,00%

Como se pode observar na tabela anterior dos doze professores pesquisados; sete, o que representa 58,33% do total de pesquisados, têm entre seis à mais de dez anos de experiência como professores de Matemática no ISCED-Cabinda, o que nos faz crer e acreditar das condições favoráveis da amostra dos professores seleccionados para emitir critérios com respeito ao tema pesquisado.

Em relação ao titulo académico ou científico dos pesquisados, podemos dizer que, seis, representando 50,00% deles têm o título de mestre ou PhD e os restantes professores pesquisados têm o título de Licenciados em Educação. O facto de que 50,00% dos professores inqueridos terem o título de mestre ou PhD em ciências, é factor considerado por nós, a favor do tema sobre a confiabilidade das opiniões emitidas a respeito do tema investigado. Os dados anteriores ficam recolhidos na próxima tabela da página seguinte.

Tabela II.1.1.2. Distribuição dos pesquisados segundo o título académico e/ou científico.

Título	Frequência Absoluta	Frequência Relativa
Licenciado em Educação	6	50,00%
Mestre em Ciências	3	25,00%
Ph.D	3	25,00%
Outro	0	0,00%
TOTAL	12	100,00%

A leitura da tabela abaixo relativo à distribuição dos pesquisados segundo a categoria docente, revela que quatro, representando na ordem percentual de 33,33% dos professores inqueridos têm categoria docente igual ou superior a categoria de professor auxiliar, entretanto dois deles (16,67%) têm categoria de assistente. No nosso entender estas caracteristicas da categoria docente dos professores inqueridos, favorece o seu contributo no tema em estudo.

Tabela II.1.1.3. Distribuição dos pesquisados segundo a categoria docente.

Categoria Docente	Frequência Absoluta	Frequência Relativa
Assistente Estagiário	6	50,00%
Assistente	2	16,67%
Professor Auxiliar	2	16,67%
Professor Associado	1	8,33%
Professor Titular	1	8,33%
TOTAL	12	100,00%

Tomando em consideração, os anos de experiência, o título académico e a categoria docente dos professores pesquisados, conduz-nos a conclusão parcial de que a amostra seleccionada para a nossa investigação reúne a qualidade suficiente para emitir critérios a respeito do tema investigado.

A tabela II.1.1.4, referente a primeira pergunta do questionário dirigido aos docentes, visou saber a opinião destes em relação ao nível de desenvolvimento nos estudantes das habilidades recionadas com as demonstrações de teoremas matemáticos. A continuação apressenta-se a tabela e a análise da mesma.

Tabela II.1.1.4. Distribuição dos critérios dos pesquisados em relação ao nível de desenvolvimento nos estudantes das habilidades relacionadas com a demonstração de teoremas matemáticos.

Nível	Frequência Absoluta	Frequência Relativa
Muito Baixo	2	16,67%
Baixo	7	58,33%
Médio	2	16,67%
Alto	1	8,33%
Muito Alto	0	0,00%
TOTAL	12	100,00%

Os resultados da tabela anterior revelam que, nove, reprentando 75,00% do total dos professores inqueridos afirmam que o nível é baixo ou muito baixo. Em consequência disso, podemos concluir parcialmente que este facto pode, em alguma medida, alimentar o insucesso escolar na aprendizagem dos métodos de aprendizagem de demonstrações de teoremas por parte dos estudantes do curso de Matemática na modalidade regular no lectivo 2011.

Outro aspecto recolhido no inquérito aplicado aos professores esteve relacionado com a quantidade de teoremas que demonstrem na sala de aula. Em nossa opinião a quantidade de teoremas demonstrados na sala de aula pelos professores inqueridos, pode-se considerar insuficiente, conforme espelha a tabela II.1.1.5; da página seguinte, o maior número de pesquisados, nove, o que representa 75.00%, demonstra menos de cinco teoremas durante o tempo que lecciona sua cadeira. A interpretação dos resultados, permitem concluirmos parcialmente de que existem algumas possibilidades de insucesso na aprendizagem de demonstração de teoremas matemáticos por parte dos estudantes, se considerarmos que, no processo de ensino-aprendizagem a prática é uma componente crucial.

II.1.1.5. Distribuição dos critérios dos pesquisados em relação à quantidade de teoremas que demonstram na sala de aula.

Quantidade de teoremas que demonstram	Frequência Absoluta	Frequência Relativa
0	1	8,33%
1-5	8	66,67%
6-10	0	0,00%
10-20	2	16,67%
Mais de 20	1	8,33%
TOTAL	12	100,00%

A terceira pergunta dirigida aos docentes do curso de Matemática do ISCED-Cabinda, que leccionem as cadeiras de Matemática e que foram pesquisados, visou auscultar junto destes, se nas provas parciais e finais das cadeiras que leccionem incluem perguntas que exigem a demonstração de um teorema. Como resposta a pergunta anterior, obtivemos os dados constantes na tabela II.1.1.6, cuja leitura revela-nos que, 66,67% dos professores pesquisados quase nunca incluem nas provas parciais e finais as perguntas de demonstração de um teorema. Se juntarmos este facto com que somente três professores dos inqueridos só incluem algumas vezes nas suas provas demonstrações de teoremas, então a interpretação destes dados induz-nos à conclusão parcial de que a maioria dos docentes, não têm como um dos objectivos a alcançar no processo de ensino aprendizagem das cadeiras que desenvolvem, a aprendizagem das demonstrações de teoremas; este factor, na nossa opinião pode constituir uma premissa inibidora da aprendizagem e consequentemente uma das muitas facetas do insucesso escolar dos estudantes a respeito a aprendizagem dos métodos de demonstração de teoremas.

Tabela II.1.1.6. Distribuição dos critérios dos pesquisados , se nas provas parciais e finais das cadeiras que leccionem incluem perguntas que exigem a demonstração de um teorema.

Nível	Frequência Absoluta	Frequência Relativa
Quase Sempre	1	8,33%
Sempre	0	0,00%
Algumas Vezes	3	25,00%
Quase Nunca	8	66,67%
Nunca	0	0,00%
TOTAL	12	100,00%

Resumindo a primeira acção efectuada, tendo em conta os objectivos que a norteava, isto é, obter informação sobre o nível de desenvolvimento das habilidades relacionadas com a demonstração de teoremas matemáticos nos estudantes da Lincenciatura em Educação, Especialidade Matemática, do ISCED-Cabinda, modalidade regular ano lectivo 2011, e também conhecer se a aprendizagem das demonstrações de teoremas constitui um dos objectivos a alcançar no processo de ensino aprendizagem das cadeiras que desenvolvem. A análise dos aspectos antes referidos, permitiram afirmar o seguinte:

- O nível de desenvolvimento nos estudantes das habilidades recionadas com as demonstrações de teoremas matemáticos é baixo ou muito baixo na opinião dos pesquisados.

- A quantidade de teoremas demonstrados na sala de aula pelos professores inqueridos, e a frequência com que se incluem nas suas provas demonstrações de teoremas, constituem evidências a favor de que os teoremas e suas demonstrações não são objectivos essenciais do processo de ensino aprendizagem desenvolvido pela maioria dos professores inqueridos.

II.1.2. Resultados da pesquisa aos estudantes de primeiro ano.

Como expressamos no início do capítulo, em relação ao primeiro ano trabalhamos com o total da matrícula, isto é com 100,00% dos estudantes da turma.

A tabela 3.1 do Anexo 3 contém os resultados da primeira pergunta dirigida aos estudantes do primeiro ano da Lincenciatura em Educação, Especialidade Matemática, do ISCED-Cabinda, modalidade regular no ano lectivo 2011, concernente a quantidade de teoremas demonstrados pelos professores na sala de aula durante o tempo que vem estudando no ISCED-Cabinda.

Os resultados revelaram que, mais de 50,00% dos pesquisados, concretamente 54,76% afirmam que a quantidade de teoremas demonstrados pelos professores, não é superior a cinco teoremas. Ainda na mesma tabela pode-se observar que onze estudantes, num percentual de 26,19% do total dos inqueridos, manifestam terem visto entre seis e dez teoremas.

Na nossa interpretação, o número de teoremas demonstrados deveria ser superior a dez, a julgar pelo tempo (um semestre) e pelo número de cadeiras específica de Matemática que constam no currículo do primeiro ano (três).

Ao comparar os critérios dos estudantes do primeiro ano com os resultados do inquérito dirigido aos professores no que refere a quantidade de teoremas demonstrados na sala de aula, vemos que existe concordância entre os critérios emitidos.

A leitura da tabela 3.2 do Anexo 3, referente a segunda pergunta dirigida aos estudantes do primeiro ano, relativa se nas provas parciais e finais incluem perguntas que exigem a demonstração de um teorema, revela-nos que, 40,48% do total dos pesquisados afirmam que quase nunca se incluem demonstrações nas provas parciais e finais, e ainda outros 28,57% do total dos inqueridos dizem que nunca aparecem perguntas de demonstrações nas provas.

A análise da informação das tabelas 3.1 e 3.2 torna evidente a ideia de que a demonstração de teoremas não constitui um dos objectivos do processo de ensino aprendizagem que desenvolvem os professores de Matemática do ISCED-Cabinda, como ficou demonstrado anteriormente na pesquisa dirigida aos professores.

Como podemos perceber na tabela 3.3 do Anexo 3 mais da metade dos estudantes da turma, especificamente 64,29% do total dos pesquisados não é capaz de responder correctamente a pergunta. Este facto contrasta com que apenas 35,71% do total inqueridos respondem correctamente ou seja, afirmam que o apresentado não constitui uma demonstração do teorema. Na nossa interpretação, estes elementos constituem uma evidência de que em sua maioria os estudantes do primeiro ano regular do curso de Matemática não têm conhecimentos sobre o que é demonstrar um teorema matemático.

A tabela 3.4 do Anexo 3 dá-nos a informação de que 100,00% dos estudantes do primeiro da Lincenciatura em Educação, Especialidade Matemática, do ISCED-Cabinda, da modalidade regular ano lectivo 2011 por nós inqueridos, deixam em branco a pergunta sobre os métodos de estruturar a demonstração de um teorema matemático. A unanimidade na resposta dos estudantes mostra no nosso entender as insuficiências e limitações que os mesmos apresentam a respeito dos conhecimentos dos métodos que podem ser empregue para estruturar a demonstração de um teorema matemático.

Com a leitura e análise da tabela 3.5 do Anexo 3, referente a possibilidade dos estudantes de enunciar e demonstrar um teorema matemático, verificamos que só seis estudantes num percentual de 14,29% do total dos pesquisados conseguem enunciar um teorema matemático, mas não conseguem fazer a sua demonstração; contrastando com trinta e seis na ordem percentual de 85,71% dos inqueridos que deixa em branco ou seja, não são capazes de enunciar ou demonstrar um teorema matemático. Este factor é considerado por nós, como preponderante e evidencia mais uma vez as insuficiências e limitações que os estudantes do primeiro ano apresentam em relação aos teoremas matemáticos e as demonstrações.

A tabela 3.6 do mencionado anexo, mostra que todos os estudantes inqueridos do primeiro ano do curso de Matemática são unânimes ao afirmar que gostariam de aprender a demonstrar teoremas matemáticos. O facto de que 100,00% dos estudantes pesquisados manifestam desejo ou vontade de querer aprender a demonstrar teoremas matemáticos, converte-se num elemento favorável para implementar acções que possam melhorar o estado actual dos estudantes em relação a aprendizagem de teoremas matemáticos e suas demonstrações.

Ao considerarmos os resultados das três últimas perguntas deste inquérito, induzem-nos a conclusão parcial de que os estudantes do primeiro ano do curso de Matemática tem limitações para reconhecer e reproduzir demonstrações de teoremas matemáticos e também o conhecimento dos métodos que podem ser empregue para estruturar a demonstração de um teorema matemático.

A síntese dos resultados da pesquisa aos estudantes de primeiro ano, leva-nos as seguintes conclusões:

- A demonstração de teoremas matemáticos, não constitui um dos objectivos no processo de ensino aprendizagem ao nível deste ano de ensino.

- Os estudantes do primeiro ano do curso de Matemática, manifestam baixos níveis de domínio de conhecimentos e habilidades associadas às demonstrações de teoremas matemáticos.

- Existe concordância entre os critérios emitidos pelos estudantes do primeiro ano com os resultados do inquérito aos professores no que se refere a quantidade de teoremas demonstrados na sala de aula e a inclusão ou não nas provas parciais ou finais de perguntas que exigem a demonstração de um teorema matemático.

A seguir apresentamos os resultados da pesquisa dirigida aos estudantes do segundo ano.

II.1.3. Resultados da pesquisa aos estudantes de segundo ano.

No caso do segundo ano, como referimos no início deste capítulo, trabalhamos com trinta estudantes representando na ordem percentual de 90,91% do total da matrícula do ano. Na nossa óptica ao ser superior a 30,00% com respeito ao total populacional, pode-se assegurar representatividade na amostra selecionada.

Analisando as respostas emitidas à pergunta a respeito a quantidade de teoremas demonstrados pelos professores na sala de aula; nota-se na tabela 4.1 do Anexo 4 que dezanove estudantes, num percentual de 63,33% do total dos pesquisados, respondem que a quantidade de teoremas demonstrados pelos professores na sala de aula durante todo tempo de estudo no ISCED, não é superior a dez teoremas. Ainda na mesma tabela, observa-se que quatro estudantes, representando a percentagem de 13,33% do total dos inqueridos, admitem nunca terem visto a demonstração na sala de aula de um teorema matemático pelo professor.

A segunda pergunta do questionário dirigido aos estudantes do segundo ano visou saber se nas provas parciais e finais os professores incluem perguntas que exigem a demonstração de um teorema matemático. A tabelação dos dados encontrados, a que aparece na tabela 4.2 do Anexo 4, revela que catorze estudantes, num percentual de 46,67% do total dos inqueridos, afirmam que nas provas parciais ou finais quase nunca aparecem perguntas relacionadas com as demonstrações de teoremas matemáticos. Ainda na mesma tabela, verificamos também que quatro estudantes numa percentagem de 13,33% do total desta população dizem que nunca aparecem perguntas de demostrações de teoremas nas provas parciais e finais frequentadas no ISCED-Cabinda. Unindo estes dois factos se obtém que 60,00% dos pesquisados afirmam que nunca ou quase nunca aparecem nas provas demonstrações de teoremas.

A análise da informação das tabelas 4.1 e 4.2 revela que, ao igual que no caso de primeiro ano, a demonstração de teoremas não constitui um dos objectivos do processo de ensino aprendizagem que desenvolvem os professores de Matemática do ISCED-Cabinda.

A interpretação dos dados da tabela 4.3 do Anexo 4, revela que 56,67% do total dos inqueridos são da opinião de que o apresentado representava uma demonstração do teorema, o que não correspode a verdade, e ainda na mesma tabela observa-se que seis estudantes, especificamente 20,00% do total dos pesquisados não têm nenhuma ideia a respeito do assunto em causa. Estes elementos constratam com que só sete estudantes na ordem percentual de 23,33% do total inqueridos, conseguem responder correctamente a pergunta, ou seja, dizem que o apresentado não constitui uma demonstração do teorema.

Na leitura dos dados recolhidos na tabela 4.4 do Anexo 4, relativos aos conhecimentos dos estudantes no que diz respeito aos métodos para estruturar a demonstração de um teorema matemático, verificamos que dezanove estudantes do total dos inqueridos, numa percentagem de 63,33% deixam em branco a mesma questão, e só onze estudantes do total dos pesquisados (36,67%), conseguem dar uma opião a respeito da questão.

A tabela 4.5 que nos é fornecida no Anexo 4, dá-nos a informação de que 100% dos estudantes por nós pesquisados, não consegue reproduzir e demonstrar um teorema matemático, ou seja, deixam em branco a pergunta.

A análise dos resultados das três últimas perguntas do questionário aplicado aos estudantes do segundo ano, permite-nos afirmar que os estudantes do segundo ano do curso de Matemática tem dificuldades para reconhecer e reproduzir demonstrações de teoremas matemáticos, assim como um conhecimento limitado dos métodos que podem ser aplicados para estruturar a demonstração de um teorema matemático.

Como podemos constatar na tabela 4.6 do Anexo 4, 100,00% dos estudantes da turma, demonstrem forte interesse em aprender o tema em ivestigação, factor que se converte numa situação benéfica para o processo de ensino aprendizagem de teoremas matemáticos e suas demonstrações.

Resumindo os resultados da pesquisa no segundo ano, podemos deduzir o seguinte:

- No processo de ensino aprendizagem do segundo ano de curso de Matemática as demonstrações de teoremas matemáticos, não são um dos objectivos ao nível deste ano de ensino.

- Os níveis de conhecimentos e habilidades relacionadas às demonstrações de teoremas matemáticos são muito baixos.

- É notório o interesse dos estudantes do segundo ano em aprender as demonstrações de teoremas matemáticos.

No próximo ponto, segue-se a análise dos resultados do inquérito dirigido aos estudantes do terceiro ano.

II.1.4. Resultados da pesquisa aos estudantes de terceiro ano.

Relativamente ao terceiro ano, a matrícula do ano foi de cinquenta e dois estudantes. Como dissemos no princípio deste capítulo a nossa pretensão era trabalhar com todos os estudantes, mas por variadas razões só foi possível pesquisar neste nível de ensino cinquenta estudantes, numa percentagem de 96,15% do total da matrícula.

Ao analisarmos os dados da primeira pergunta dirigida aos estudantes do terceiro ano, relativos ao número de teoremas demonstrados pelos professores na sala de aula durante o tempo que vem estudando no ISCED, constatamos que trinta e quatro estudantes (68,00%) do total dos pesquisados, admitem que o número de teoremas demonstrados pelos professores não é superior a dez; como pode apreciar-se na tabela 5.1 do Anexo 5. A situação é muito preocupante na nossa opinião por se tratar de estudantes do terceiro ano, visto que os mesmos já passaram no primeiro e segundo anos e já tiveram muitas cadeiras de matemática.

Como podemos perceber na tabela 5.2 do mencionado Anexo, a maioria dos estudantes do terceiro ano concretamente trinta e nove do total dos pesquisados da turma, numa percentagem de 78,00% são da opinião de que os professores quase nunca incluem perguntas de demonstrações de teoremas nas provas parciais ou finais. No entanto, essa situação é preocupante tendo em consideração a extrema importância de que revestem as demonstrações de teoremas no complexo processo de ensino aprendizagem da Matemática

A análise da informação das duas tabelas anteriores revela que também no terceiro ano as demonstrações de teoremas não constituem um dos objectivos do processo de ensino aprendizagem que desenvolvem os professores de Matemática do ISCED-Cabinda.

A pergunta direccionada aos estudantes do terceiro ano sobre se o teorema está ou não demonstrado, revelou que do número de estudantes questionados só 32,00% deles conseguem responder acertadamente, o que contrasta com o facto de que 68,00% dos pesquisados não consegue responder acertadamente; como se mostra na tabela 5.3 do Anexo 5.

A quarta pergunta do questionário dirigido aos estudantes do terceiro ano, seus resultados aparecem na tabela 5.4 do Anexo 5, visou saber sobre o conhecimento destes sobre os métodos para estruturar a demonstração de um teorema matemático. A tabulação dos dados encontrados, revela que 90,00% dos estudantes do total dos inqueridos, não conhecem os métodos de estruturação de demonstrações de teoremas matemáticos, o que infere-se em deixar em branco a questão; o que para nós é preocupante, visto que são estudantes já do terceiro ano.

A quinta pergunta do inquérito dirigido aos estudantes do terceiro ano, procurou conhecer a possibilidade destes, de enunciar e demonstrar um teorema matemático. A tabulação dos dados encontrados, revela-nos que quarenta e sete estuadantes do total dos perquisados, num percentual de 94,00%, não consegue reproduzir e demonstrar um teorema matemático, ou seja, deixa em branco a pergunta. Estes resultados ficam recolhidos na tabela 5.5 do Anexo 5.

A interpretação dos resultados das três últimas perguntas da pesquisa dirigida aos estudantes do terceiro ano, leva-nos afirmar que os estudantes do terceiro ano apresentam debilidades acentuadas para reconhecer e reproduzir demonstrações de teoremas matemáticos, e também não conhecem os métodos que podem ser utilizados para estruturar a demonstração de um teorema matemático.

A vontade de aprender o tema investigado é notório nos estudantes do terceiro ano, como se observa nas respostas recolhidas na última pergunta dirigida aos mesmos, 100,00% dos inqueridos foram unânimes de que gostariam de aprender a demonstrar teoremas matemáticos. Esta informação fica recolhida na tabela 5.6 do Anexo 5.

Em resumo dos resultados das respostas do questionário dirigido aos estudantes do terceiro ano, podemos dizer o seguinte:

- No processo de ensino aprendizagem do terceiro ano de curso de Matemática a demonstração de teoremas matemáticos, não é uma das finalidades ao nível deste ano de ensino.

- Os níveis de conhecimentos e habilidades relacionadas às demonstrações de teoremas matemáticos são muito baixos.

- Existe uma grande determinação dos estudantes do terceiro ano em aprender as demonstrações de teoremas matemáticos.

A seguir, os resultados e a análise do questionário dirigido aos estudantes do quarto ano.

II.1.5. Resultados da pesquisa aos estudantes de quarto ano.

A matrícula do quarto ano no curso de matemática no ano lectivo 2011, foi de vinte e seis estudantes, como foi referido no começo deste capítulo, que a nossa pretensão era trabalhar com todos, felizmente no caso deste nível de ensino conseguimos atingir esta meta, ou seja, trabalhamos com os cem por cento (100,00%) da turma.

A leitura da tabela 6.1 do Anexo 6, referente ao número de teoremas demonstrados na sala de aula pelos professores, durante todo tempo que vem estudando no ISCED-Cabinda, revela que vinte e um estudantes (80,77%) do total dos pesquisados dizem que o número não é superior a vinte teoremas. No nosso ponto de vista, ainda é insuficiente a quantidade de teoremas demonstrados que têm visto os estudantes, a julgar pelas quantidades de cadeiras especificas constantes no seu currículo.

Os dados colectados e apresentados na tabela 6.2 do Anexo mencionado indicam na opinião dos estudantes (69,23% deles), que os professores de Matemática só incluem algumas vezes nas suas provas as perguntas de demonstrações de teoremas.

Os resultados das duas tabelas anteriores revelam que o tratamento de teoremas matemáticos esta longe de ser uma meta para o processo de ensino aprendizagem da Matemática no ISCED-Cabinda.

Compulsando os resultados relativos à tabulação dos dados sobre se o teorema apresentado está ou não demonstrado, verificamos que só a metade da turma concrectamente 50,00% do total dos pesquisados conseguem responder acerdamente a questão, ou seja, afirmando de que o apresentado não é uma demonstração do teorema. A informação anterior fica recolhida na tabela 6.3 do Anexo 6.

A quarta pergunta do questionário dirigido aos estudantes do quarto ano, seus resultados aparecem na tabela 6.4 do Anexo 6, procurou saber sobre o conhecimento destes a respeito dos métodos que podem ser empregue para estruturar a demonstração de um teorema matemático. A tabulação dos dados encontrados, revela que 73,08%dos estudantes do total dos inqueridos, desconhecem os métodos de estruturação de demonstração de teoremas matemáticos, e consequentemente deixa em branco a questão; o que na nossa percepção é muito agravante, por se tratar de estudantes do quarto ano que estão na porta de graduar-se num curso superior na especialidade de Matemática.

A quinta pergunta do inquérito dirigido aos estudantes do quarto ano, protagonizou confirmar a possibilidade destes, de enunciar e demonstrar um teorema matemático. A tabulação dos dados encontrados, mostra-nos que só um estudante, numa percentagem de 3,85% do total dos estudantes pesquisados consegue enunciar e demonstrar um teorema Matemático; situação que se constrata com 88,46% do total dos pesquisados que deixa em branco a pergunta. Estes resultados ficam recolhidos na tabela 6.5 do Anexo 6.

A interpretação dos resultados das três últimas perguntas deste inquérito dirigido aos estudantes do quarto ano, permite-nos confirmar de que os estudantes apresentam insuficiências em reconhecer e reproduzir demonstrações de teoremas matemáticos, e também desconhecem os métodos que podem ser empregue para estruturar a demonstração de um teorema matemático.

O desejo de aprender a demonstrar teoremas matemáticos é muito grande nos estudantes do quarto ano, como se espelha nas respostas recolhidas na última pergunta dirigida aos mesmos, 100,00% dos inqueridos foram unânimes de que gostariam de aprender a demonstrar teoremas matemáticos. Esta informação fica recolhida na tabela.6 do Anexo 6.

Em consequência dos resultados das respostas emitidas pelos estudantes do quarto ano no questionário dirigido aos mesmos, podemos afirmar que:

- No processo de ensino aprendizagem do quarto ano de curso de Matemática as demonstrações de teoremas matemáticos, não são uma das finalidades ao nível deste ano de ensino.

- São muito baixos os níveis de conhecimentos e habilidades relacionadas com às demonstrações de teoremas nos estudantes deste nível de ensino.

-Existe uma grande vontade dos estudantes do quarto ano em aprender a demonstrar teoremas matemáticos.

No próximo ponto apresentamos um resumo geral da pesquisa realizada nos estudantes das quatro turmas da Licenciatura em Educação, Especialidade Matemática na modalidade regular do ISCED-Cabinda, no ano lectivo 2011.

II.1.6. Resultados da pesquisa aos estudantes da licenciatura em Educação, Especialidade Matemática na modalidade regular no ano lectivo 2011.

A pesquisa realizada revelou, em nossa opinião e também em opinião da maioria dos pesquisados, que a quantidade de teoremas que se demonstram na sala de aula pelos professores de Matemática do ISCED-Cabinda é insuficiente, o que de certa maneira concorda com os resultados do inquérito dirigido aos professores.

A tabela a seguir da página seguinte, dá-nos uma ideia geral sobre a quantidade de teoremas demonstrados pelos professores, na opinião dos estudantes. Observa-se, por exemplo, 70,27% dos pesquisados manifestam que a quantidade de teoremas demonstrados não é superior a dez.

Tabela. II.1.6.1. Distribuição dos critérios dos pesquisados em relação à quantidade de teoremas que demonstram na sala de aula.

Quantidade de teoremas que demonstram	Frequência Absoluta	Frequência Absoluta Acumulada	Frequência Relativa	Frequência Relativa Acumulada
0	19	19	12,84%	12,84%
1-5	48	67	32,43%	45,27%