Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:

Exemplo 1

Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x x² –3x – 40 = 0

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:

x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Exemplo 2

Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.

Aplicando a lei dos cossenos

a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A cos A = 0,2

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.

Exemplo 3

Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 *