Aplicação de integral para cálculo de volume
1. Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal. PROBLEMA 1
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide - é .
RESOLUÇÃO
Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:

Para cada corte transversal na altura , temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é .
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí ou seja, a área de cada secção transversal é .
Logo, o volume da pirâmide é dado por:

PROBLEMA 2 …exibir mais conteúdo…

Considerando uma partição P do intervalo : , tal que , seja:

onde para todo i, , que é uma soma de Riemann para a função , relativa à partição P do intervalo .
Definimos o volume do sólido B como sendo:
.
É preciso observar que cada secção transversal do sólido B, obtida a partir de x, , é um círculo centrado no ponto e raio f(x) e, portanto, cuja área é .
PROBLEMA 4
Seja , . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e .
RESOLUÇÃO
O volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelo gráfico de , pelo eixo x, e as retas x=0 e ,

é dado por:
.
Uma vez que , temos:

PROBLEMA 5
Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para , sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados.
RESOLUÇÃO
a) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para, é girada ao redor do eixo x:

O volume do sólido é dado por:

b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para, é girada redor do eixo y:

O volume do sólido é dado por:

3. Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos.
Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.

O volume de cada uma das cascas é dado por:

(o índice “e” refere-se a externo e o índice “i” refere-se a interno)

ou ainda,