Integral Definida

Calculando a velocidade a partir da distância percorrida. Isso nos leva a noção de derivada, ou taxa de variação, de uma função. Vamos considerar, agora, o problema inverso: dada a velocidade, como podemos calcular a distância percorrida? Isso nos leva ao nosso segundo conceito chave, a Integral Definida, que calcula a variação total de uma função a partir de sua taxa de variação. Então a integral definida pode ser usada para calcular não só à distância, como também muitas outras quantidades, tais como a área debaixo de uma curva e o valor médio de uma função.
Podemos usar a integral definida para obter informação sobre uma função a partir de sua derivada. Calcular derivadas e calcular integrais definidas são, de …exibir mais conteúdo…

A estimativa para o ultimo intervalo agora é f(tn)Dt.

Distância total percorrida entre t= a e t= b »

» f(t1)Dt + f(t2)Dt + f(t3)Dt +...+ f(tn)Dt.

Se f é uma função crescente, a soma a esquerda é uma estimativa por baixo da distância total percorrida. Se f é crescente, a soma a direita é uma estimativa por cima. Se f é decrescente, o papel das duas é trocado. Para funções que são crescentes ou decrescentes, o valor exato da distância percorrida fica entre as duas estimativas. Para uma função que é crescente em todo o intervalo [a, b], ou decrescente em todo o intervalo [a, b], ou decrescente em todo o intervalo, temos

Diferença entre as estimativas por cima e por baixo= diferença entre f(a) e f(b)
Dt= (f(b) – f(a)). Dt.

No exemplo do carro, quando n aumenta, as estimativas superiores da distãncia percorrida diminuem e as estimativas inferiores aumentam, aproximando-se da distância exata. Para encontrar, exatamente, a distância total percorrida entre t= a e t= b, calculamos o limite da soma quando n tende a infinito.

Distância total percorrida entre t= a e t= b =
= lim (Soma à esquerda) n®¥
= lim [f(t0)Dt + f(t1)Dt +... + f (tn-1)Dt] n®¥
= Área sob a curva f (t) de t=a até t= b e

Distância total percorrida entre t= a e t= b=
= lim (Soma à direita) n®¥
= lim [f(t1)Dt + f(t2)Dt +... + f (tn)Dt] n®¥

= Área sob curva f(t) de t= a até t=