TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. INTRODUÇÃO

A transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de valor inicial da forma Ay” + By' + Cy = f(t); y(0) = y0, y`(0) = y0` , para A, B, e C pertencente aos números reais.
Para isso, a equação diferencial é inicialmente transformada pela transformada de Laplace numa equação algébrica. Depois, resolve-se a equação algébrica e finalmente transforma-se de volta a solução da equação algébrica na solução da equação diferencial inicial.
A transformada de Laplace pode ser entendida como a “caixa” da figura a seguir. Do lado esquerdo entram as funções originais e do lado direito saem as funções transformadas pela transformada de Laplace.

2. DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE …exibir mais conteúdo…

O Teorema 1, entretanto, garante que se F(s) tem uma transformada inversa de Laplace contínua f(x), então f(x) é a única transformada inversa contínua, de F(s). Daqui por diante, convencionaremos que £-1F(s) representará essa única transformada inversa contínua, quando existe.

Teorema 2 (Linearidade):
Se as transformadas inversas de Laplace de duas funções e existem, então, para quaisquer constantes e

£-1 £-1 + £-1

Os dois métodos seguintes, juntamente com o teorema anterior, são úteis para o cálculo de transformadas inversas.

• MÉTODO DO COMPLEMENTO DO QUADRADO

Todo polinômio quadrático em pode ser posto sob a forma

Em particular, na qual: e

• MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS

Toda função da forma , onde tanto como são polinômios em s, pode ser escrita como soma de frações tais que o denominador de cada uma é um polinômio do primeiro grau ou do segundo grau, elevado a certa potência. O método exige apenas que:

- O grau de seja inferior ao grau de (se tal condição não se verificar, devemos primeiro dividir o numerador pelo denominador e considerar, para efeito de decomposição, apenas o termo que contém o resto);

- seja fatorável em um produto de polinômios do primeiro e/ou do segundo grau, distintos, elevados a diversas potências.
O método se desenvolve como segue. A cada fator de da forma corresponde uma soma de m frações da forma:

A