UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – UFPE
Centro de Informática – Área II
Disciplina de Cálculo Numérico

Resolução de Sistemas Lineares

Resumo: O relatório do projeto em questão consta de três partes: A primeira corresponde a uma introdução teórica a respeito dos métodos utilizados para resolver sistemas de equações lineares, sendo os mesmos o método direto (decomposição LU) e os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel. Na segunda parte, é proposto um algoritmo/código para resolução desses tipos de sistemas através de tais métodos. O código foi desenvolvido na linguagem Pascal utilizando o compilador Dev-Pascal. Por fim, a terceira e última parte do relatório fica a cargo de debater os resultados e especificações do …exibir mais conteúdo…

A decomposição se dá de uma forma tal que A=LU. Assim, pode-se transformar o sistema Ax=b em LUx=b, facilitando a resolução do problema, pois podemos calcular Ly=b e finalmente Ux=y, que dará a solução final do sistema.
Para tal, devemos primeiramente checar se é possível esta decomposição para a matriz A dos coeficientes em questão. Esta verificação se dá através de um teorema que afirma que se temos uma matriz de ordem n x n, a mesma terá uma decomposição LU apenas se os determinantes dassub-matrizes de ordem 1, 2, 3,..., n, que formam a matriz A, forem diferentes de zero. Além disso, uma vez verificado que a decomposição existirá e que a matriz admite inversa (determinante diferente de zero), esta decomposição será única.
Para montar as matrizes L e U utilizamos as equações (1) e (2), calculando os elementos na ordem: . (1) (2)
Analogamente, podemos efetuar o método de decomposição LU por meio da eliminação de Gauss. Dessa forma, os elementos da matriz U, agora triangular superior, são os coeficientes da matriz obtida no final do processo de eliminação de Gauss (pivotação), enquanto a matriz L, triangular inferior, apresenta os elementos da diagonal principal iguais a 1 (um), enquanto os elementos não-nulos do mesmo é determinada a partir da troca de sinal do fator de eliminação utilizado para zerar aquele determinado elemento na matriz U.

Figura 2: Matrizes referentes à decomposição LU, em sua