Cálculo Avançado A - Séries de Fourier

LISTA DE EXERCÍCIOS DE SÉRIES DE FOURIER
1) Encontre a série de Fourier da função descrita por: f (t ) = t − 2 , se 0 ≤ t < 4 e f (t + 4) = f (t ).

2) Dada a seguinte função periódica: f ( t ) = t , se − 3 < t < 3, e f ( t + 6) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ, determine os coeficientes a0, a3 e b5 da série de Fourier. 3) Determinar os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de Fourier de: ì1 + t , se − 2 < t < 0 f(t) = í e f(t +4) = f(t), ∀ t ∈ℜ . î1 − t , se 0 ≤ t < 2 4) Dada a função abaixo: ì− t , se − 1 < t < 1 e f ( t + 4) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ. f (t) = í î0, se − 2 < t < −1 e 1 < t < 2 Calcular os coeficientes de Fourier a n e b n , para n = 0, 1, 2 e 3.

5) Dada a função …exibir mais conteúdo…

T

26) Ache a série de Fourier complexa da função periódica f(t), resultante da retificação completa de uma onda senoidal, definida por: f (t ) = A sen(πt ), se 0 < t < 1, e f (t + 1) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
27) Mostre que a função dente de serra: f ( t ) = a t / T, se 0 < t < T, e f ( t + T) = f ( t ), ∀t ∈ ℜ, tem a seguinte série de Fourier:

3

Cálculo Avançado A - Séries de Fourier
∞ 2π n t a − a å f n sen , 2 T n =1

f (t ) = e ache a fórmula para f n .

28) No exercício anterior, faça um gráfico preciso das somas parciais: N 2π n t a ϕ N (t ) = − a å f n sen , 2 T n =1 para N=1,2,3 no intervalo (0,T), e superponha todos os três gráficos sobre o gráfico da f(t) a fim de ilustrar o processo de convergência da série de Fourier. 29) Ache a série de Fourier no intervalo (0,T) para a seguinte imagem triangular: T ì 2at ï T , se 0 ≤ t ≤ 2 ï . f (t) = í T tö æ ï2a ç1 − ÷, se ≤t≤T ï 2 î è Tø 30) Desenvolvendo f(x) = cosh ax em série de Fourier, mostre que senh aπ 2a senh aπ ∞ (− 1)n cosh ax = cos nx + 2 2 aπ π n =1 n + a

å

(− π < x < π).

31) Desenvolva f ( x ) = cos(kx ) , onde k é um inteiro, em série de Fourier, no intervalo (−π,+ π) . 32) As séries de Fourier podem ser usadas para calcular certas somas importantes. Por exemplo, prove que, para 0 ≤ x ≤ π, a) x (π − x ) = ö π 2 æ cos 2 x cos 4x cos 6 x −ç + + + K÷ ÷ 6 ç 12 22 32 è ø ö