Las matemáticas en el siglo XVIII

Las matemáticas en el siglo XVIII
Las matemáticas son consideradas una Ciencia de la Naturaleza: Las teorías matemáticas deben reflejar la realidad física, son una herramienta para formular y descubrir las Leyes de la Naturaleza.
Las definiciones matemáticas son descriptivas; no crean objetos matemáticos sino que describen algo que se supone debe imitar una realidad externa.
Los números reales están asociados con magnitudes y se interpretan geométricamente. Son algo dado en la realidad física.
Los matemáticos eran, cada vez más conscientes de que los progresos del Cálculo dependían de un mejor conocimiento de los números reales.
La idea de número irracional lleva consigo asociada la del infinito, y por tanto necesitará los fundamentos de una teoría matemática del infinito.

El Cálculo Diferencial.
Después de la invención del Cálculo el objetivo era usarlo para descubrir nuevos resultados.
La confianza en dichas técnicas descansaba en su extraordinaria eficacia para resolver multitud de problemas.
A finales del siglo XVIII, el uso continuado de los infinitésimos, que nadie sabía explicar, unido a la incomprensión de los procesos de convergencia, propiciaron estudios críticos de los conceptos básicos del Cálculo,

El siglo XIX: El rigor sustituye a la intuición

El siglo XIX
Una buena descripción de la situación del Análisis al comienzo del siglo XIX aparece en la carta que escribe N. Abel (1802-1829) en Octubre de 1826, desde París, a su antiguo maestro Hansteen en Oslo:
Quiero dedicar todos mis esfuerzos a traer un poco de claridad a la prodigiosa oscuridad que uno encuentra hoy en el Análisis. La falta de unidad y planificación hace realmente sorprendente que haya tanta gente estudiando esta disciplina.
Lo peor de todo es la absoluta falta de rigor con que se trata. Sólo hay unas pocas proposiciones en análisis superior que hayan sido demostradas con todo rigor. Esto continuará así hasta que se descubra un método general.
Pero debo ser extremadamente cuidadoso, pues una vez admitidas las proposiciones sin una demostración rigurosa (es decir, sin demostración), arraigan tan profundamente en mí que en cada instante me expongo a utilizarlas sin ningún cuidado…

Carta de N. Abel
Por todas partes aparece la desafortunada forma de razonar de lo particular a lo general, y resulta extraño que, a pesar de todo, aparezcan tan pocas paradojas.
En mi opinión, la razón es que las funciones de las que, hasta ahora, se ha ocupado el análisis, pueden, en su mayor parte, expresarse por una serie de potencias.
Cuando aparecen otras para las que esto no es verdad (lo que, ciertamente, no sucede a menudo), los resultados pueden no ser ciertos, y así fluye una masa de proposiciones incorrectas ligadas una a la otra.

Necesidad de clarificar
El “método general” al que hace referencia Abel, pasa por clarificar las nociones básicas de función, límite y continuidad, y su desarrollo, junto con el de los nuevos paradigmas de rigor a que dio origen, ocupó los dos últimos tercios del siglo XIX.
No existe el concepto de dominio de una función,
el concepto de límite está asociado a la imprecisa idea de los infinitésimos
y el concepto de continuidad siempre había sido considerado desde un punto de vista filosófico, más como una ley de la naturaleza que como un concepto propiamente matemático.
Algunos de los autores de estas precisiones serán J. Dirichlet , A. Cauchy, , B. Bolzano R. Dedekind y K. Weierstrass

Concepto de función
La necesidad de precisar el concepto de función surgió en el estudio de las vibraciones planas de una cuerda elástica tensa, sujeta por sus extremos, cuya posición inicial viene dado por una función conocida f(x).
Euler en su libro Introductio in “Analysis infinitorum”, da la siguiente definición de función:
“Una función de una cantidad variable es cualquier expresión analítica* formada a partir de dicha cantidad variable y números o cantidades constantes”.
Sin embargo, no precisó que significaba “expresión analítica” aunque sin duda indicaba , series, fracciones, productos infinitos.

Concepto de función
El corazón del problema para avanzar estaba en la confusión entre el concepto de función y el de su representación.
La separación de estos conceptos llevará a considerar una función con independencia de su representación analítica.
Permitirá introducir nuevas funciones más complejas que obligarán a fijar los conceptos de continuidad, derivabilidad.
La evolución del concepto de función puede ser vista como una lucha entre dos visiones : la geométrica y la algebraica.
La concepción geométrica es gradualmente abandonada.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, actual Alemania 1805 -1859) , fue matemático y se le atribuye la definición "formal" moderna de una función.
Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier.
Su primera publicación comprendió una demostración particular del teorema de Fermat para el caso n=5.
Aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función. Afirma:
“y es una función de una variable x, definida en un intervalo a< x< b, si para cada valor de la variable x en este intervalo le corresponde un valor concreto de la variable y”.
Además, es irrelevante la forma en que esta correspondencia se establezca.

¿Qué diremos con respecto al límite?

Como ya hemos mencionado, las ideas sobre el concepto de límite eran confusas debido al uso de los infinitésimos, algo así como variables con límite cero.
De manera análoga, un cociente incremental se reemplazaba por la derivada y una suma de un número finito de términos difícilmente se distinguía de una integral ; los matemáticos pasaban de una a otra con toda libertad.
Es pues obligada una nueva formulación de los mismos mucho más formal y rigurosa, según los criterios actuales,
su precio será que esta formulación es mucho menos intuitiva