Concepto de límite
Concepto de límite
Debemos notar que todas estas definiciones de límite se refieren a variables y que dichas variables suelen interpretarse como cantidades geométricas (áreas, longitudes, etc.) Además una cantidad constante es interpretada generalmente como una cantidad positiva. Con frecuencia el cero tiene un carácter especial y se dan definiciones específicas para tenerlo en cuenta.
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy (París, 1789- 1857) matemático francés, pionero en el análisis matemático investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Augustin Louis Cauchy
Cauchy ocupó varios puestos públicos menores y era amigo de Joseph-Louis de Lagrange y Pierre Simon Laplace.
Estudió en École Polytechnique, fue contratado como ingeniero militar en 1812 para contribuir al gran plan de Napoleón para transformar el puerto de Cherbourg en el más importante de Francia e Inglaterra. Sin embargo, su mala salud le obligó a abandonar este proyecto.
Comenzó a dedicarse a la investigación científica intensiva, y a la publicación de varias obras importantes en rápida sucesión.
La principal aportación de este período fue la demostración del teorema del número poligonal de Fermat, al que se habían dedicado sin éxito ilustres matemáticos contemporáneos como Gauss.
Fue nombrado profesor de la mecánica en la École Polytechnique en 1816. Fue promovido a miembro de la Academia Francesa de las Ciencias.
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Lo importante es que traduce los conceptos de límite por desigualdades. El error es anecdótico . Cuando
En su libro define el concepto de continuidad.
Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Bernard Bolzano
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Praga, 1781-1848), fue matemático, lógico, filósofo y teólogo bohemio.
Es célebre por el por el teorema de Bolzano, así como por el teorema de Bolzano-Weierstrass,
Criticó el idealismo de Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas, y las verdades existen de modo independiente a las personas que los piensen.
Mejor no tocar
La actitud predominante de los matemáticos ante el problema del infinito: ignorarlo y seguir adelante. Es significativa, a este respecto, la opinión de K. F. Gauss (1777-1855), expresada en una carta escrita a su amigo Schumacher en en 1831:
“En lo que concierne a su demostración…protesto contra el uso que se hace de una cantidad infinita como una entidad real; esto nunca se permite en matemáticas.
El infinito es sólo una manera de hablar, puesto que se trata en realidad de límites…”.
B. Bolzano
En 1851, tres años después de su muerte, apareció su obra Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del Infinito) en la que se recogen sus reflexiones sobre la noción de infinito.
El infinito no se debe buscar en un proceso eternamente inacabado; al contrario, la posibilidad de tomar valores más y más grandes supone que el conjunto de esos valores es realmente infinito (considera un conjunto como un todo, sin necesidad de considerar separadamente cada uno de sus elementos).
B. Bolzano
Introduce por primera vez un punto de vista conjuntista en las Matemáticas.
Su concepto de infinito: Llamaré infinita a una multitud si todo conjunto finito es tan sólo una parte de ella.
Construye un conjunto infinito utilizando implícitamente la existencia de un conjunto infinito previo: el de los números.
Cae en un círculo vicioso, del que salir es imposible: para construir un conjunto infinito debe suponer la existencia de al menos un conjunto infinito.
El infinito y más allá
Reconoce la existencia de diferentes órdenes de infinitud y se enfrenta al problema de comparar y establecer un orden entre los conjuntos infinitos.
no le parece que la existencia de una biyección sea criterio suficiente para afirmar que ambos conjuntos son “comparables" y elige como criterio la relación de inclusión entre conjuntos.
De esta forma puede comparar conjuntos infinitos pero no puede cuantificar el infinito .
Este conflicto profundo le impidió construir una aritmética coherente de magnitudes infinitas (por ejemplo, sostenía que la magnitud de un conjunto infinito cambia cuando se le añade un elemento.)
Los números reales
A mediados del siglo XIX no era posible demostrar algunos resultados básicos del cálculo:
Toda función creciente y acotada tiene límite,
El teorema del valor intermedio para funciones continuas
Faltaba codificar una propiedad fundamental de los números reales, la que ahora llamamos completitud y entonces se llamaba propiedad de continuidad.
Los números reales
En 1872 se publicaron dos trabajos, uno de Cantor y otro de Dedekind, en los que, a partir del sistema de los números racionales, cada autor desarrollaba una construcción matemática de los números reales.
Julius Wilhelm Richard Dedekind
Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916), matemático alemán, nació en Brunswick.
En 1848 entró en el Colegium Carolinum de su ciudad natal, y en 1850, con sólidos conocimientos de matemáticas en la Universidad de Gotinga.
J. Richard Dedekind
Fue alumno del matemático Moritz Abraham Stern, y del físico Wilhelm Weber. Su tesis doctoral (1852), fue supervisada por Gauss, que lo consideró su último alumno.
Estudió la teoría de los números y otras materias con G. Dirichlet, al que le uniría una gran amistad.
Para ampliar sus conocimientos, abordó el estudio de las funciones abelianas y elípticas de la mano del genial Bernhard Riemann.
Su correspondencia con otros matemáticos resultó fructífera y estimulante
Cortaduras de Dedekind
Sus cortaduras zanjan definitivamente el problema de la fundamentación del análisis al definir el conjunto de los números reales a partir de los racionales.
En su magistral artículo de 1872, titulado “Continuidad y números irracionales “, caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo.
Al comienzo del artículo manifiesta su propósito de reducir los números reales a la aritmética, eliminando así todo contenido geométrico en la idea de número real.
Sustento intuitivo
Para explicar lo que él hizo vamos a partir de la intuición de una recta.
Elegido un punto como origen y un segmento como unidad, podemos hacer corresponder a cada número racional un punto de esa recta.
Cualquier punto que corresponda con un segmento de longitud inconmensurable con la unidad elegida no puede ser representado por un número racional .
Los números racionales no son suficientes para describir numéricamente "el continuo“, ya que dejarían"huecos“.
Idea de Dedekind
Se preguntaba Dedekind: ¿En qué consiste la propiedad de la continuidad?
“el problema es indicar una característica precisa de la continuidad que pueda servir como base para deducciones válidas”.
Antes de revelar el secreto previene al lector,
Muchos de mis lectores quedarán grandemente disgustados al saber que con una vulgar observación se revela el secreto de la continuidad.
¿Cuál es esa vulgar observación'?
Todo punto de una recta la divide en dos partes disjuntas,
la parte A, formada por los puntos de la recta que están a su izquierda,
y la parte B, formada por los puntos de la recta que están a su derecha.
El propio punto podemos incluirlo bien en A o en B.
Estrategia
Una cortadura de Q es un par (A. B), donde A y B son dos conjuntos no vacíos de números racionales tales que Q = A U B, y todo número de A es menor que todo número de B y A no tiene máximo.
Todo número racional r de Q produce una cortadura dada por A = {x ?Q : x < r} , B = {x ?Q : x = r}.
Pero en la recta racional hay muchas cortaduras que no están producidas por números racionales.
El par (A,B) A = {x ?Q: x² < 2}, B = {x ?Q : 2=x² } define una cortadura de Q que no está producida por ningún número racional
Idea genial
¿De dónde sacamos los números reales si todo lo que tenemos son los racionales'?
"Si todos los puntos de la recta se dividen en dos clases tales que todo punto de la primera clase queda a la izquierda de todo punto de la segunda clase,
Entonces existe uno, y sólo un punto que produce esta división …“
Un número real es una cortadura de Q .
La idea es que la recta es continua porque entre dos puntos de ella sólo hay puntos de la misma recta.
R. Dedekind
En su trabajo ¿Qué son y para qué sirven los números? publicado en 1888 da la siguiente definición:
Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito.
Además precisa el significado de las operaciones elementales de la teoría de conjuntos,
y da la definición general de función entre conjuntos abstractos, generalizando así la dada por Dirichlet para funciones reales.
K. Weierstrass (1815-1897)
Era conocido como profesor de instituto, cuando en 1854 publicó us trabajo sobre las funciones abelianas que causó sensación en la comunidad matemática.
Poco después, en 1856, ya era profesor de la Universidad de Berlín.
Los cursos que impartió durante más de 30 años atrajeron a numerosos matemáticos de toda Europa.
Discípulos suyos fueron G. Cantor, S. Kovalevsky, M. Planck y D. Hilbert.
K. Weierstrass
Weierstrass es considerado como el más grande analista del último tercio del siglo XIX y se le ha llamado “el padre del Análisis moderno”.
Entre otras cosas , desarrolló una teoría aritmética de los números reales, y aunque no publicó mucho, su influencia fue enorme y sus conferencias magistrales fueron difundidas por toda Europa por sus numerosos discípulos
También realizó aportes en convergencia de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de productos infinitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc.
Acometió la tarea de revisar radicalmente los conceptos fundamentales del Análisis y a este fin dedicó algunos de sus cursos.
K. Weierstrass
Llevó a sus últimas consecuencias el proceso de aritmetización del Análisis. (alejamiento de la geometría)
Estaba convencido de que el Análisis debía ser liberado de los razonamientos geométricos y de los conceptos intuitivos de espacio tiempo y movimiento y debía estar fundamentado sobre los números enteros positivos.
Una variable es sólo el símbolo que sirve para designar cualquier elemento del conjunto de valores que se le puede atribuir .
Una variable continua es aquella cuyo conjunto de valores no tiene puntos aislados.
Weierstraß dio las definiciones actuales de continuidad, límite y derivada de una función.
Él tradujo por medio de desigualdades y de valores absolutos las definiciones verbales de límite y de continuidad dadas por Cauchy y Bolzano.
K. Weierstrass
La definición de límite, tal como fue recogida por H. Heine (1821-1881)en sus notas es la siguiente:
“Se dice que L es el límite de la función f(x) para x=a si, dado cualquier e, existe un d0 tal que para 0< d< d0, la diferencia f(a±d)-L ews menor en valor absoluto que e”.
Si tenemos ahora en cuenta que la definición de límite es el fundamento de las definiciones de continuidad, derivada, integral y los distintos tipos de convergencia, comprenderemos hasta qué punto con esta definición nos hemos liberado por fin del sentido mágico de los infinitésimos .
K. Weierstrass
Así por ejemplo, esta clarificación le permitió probar un conjunto de resultados que estaban entonces sin demostrar tales como:
el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel.
Curiosamente la letra griega e que usaba Cauchy con un significado de “error”, se ha convertido en el paradigma de la precisión en nuestras actuales definiciones heredadas de Weiertrass.
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