INTEGRALES TRIPLES.

y

x

1

f (x, y, z) dzdydx, dibujar la regi´n de integraci´n y escribir o o

46. Dada la integral
0

0

0

la integral de todas las formas posibles.

Soluci´n o z

y

x

Teniendo en cuenta la gr´fica adjunta, si D1 , D2 y D3 son las proyecciones sobre los tres a planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:

y

dxdy
D1

1

f dz

=

0

0 x dxdz
D2

=

z

dz
0

1
D3

y

0 x z

1

0

y

x

0

dz
0

x

dz
0
1

1

f dx =

f dz,
0

dx

1

dz

y

dx y f dy =

y

1

dy
0

z

dy
0

1

f dz =

dx

1

f dx =

y

dy
0
1

1

f dy

dydz

x

dx

f …ver más…

3

z

y x Como la proyecci´n del s´lido sobre el plano XY es el cuadrado R limitado por las rectas o o x + y = a, x + y = −a, x − y = a, x − y = −a, el volumen se calcula por la f´rmula o √

V

=

dxdy
R
0

=

2

a2 −x2

√
− a2 −x2 x+a R
−x+a

a

a2 − x2 dy + 2

dx
−a

a2 − x2 dxdy

dz = 2

−x−a

a2 − x2 dy = 2a3 π − 8a3 /3.

dx
0

x−a

[Para calcular las integrales se puede hacer alguna sustituci´n trigonom´trica.] o e ii) El s´lido consiste en la regi´n limitada entre el plano XY y el paraboloide z = x2 + y 2 y o o cuya proyecci´n sobre el plano XY es la regi´n R limitada por las curvas xy = a2 , xy = 2a2 , o o y = x/2, y = 2x (en realidad la regi´n es uni´n de dos regiones, una de ellas en el primer o o cuadrante y otra en el tercer cuadrante; como las regiones tienen la misma ´rea y la funci´n a o z = x2 + y 2 es sim´trica, bastar´ multiplicar por dos el resultado obtenido al considerar e a unicamente la parte del primer cuadrante).
´

z

4

Podemos pues escribir el volumen como: x2 +y 2

V =2

dxdy

(x2 + y 2 ) dxdy.

dz =

R

0

R

Para calcular la integral doble sobre la regi´n R, realizamos el cambio de variables dado o por las ecuaciones xy = u, x/y = v.
1
x, y
=
y que la nueva regi´n de integraci´n sea R = {(u, v) : o o u, v
2v
a2 ≤ u ≤ 2a2 , 1/2 ≤ v ≤ 2}. El