Problemas

de

TOPOLOG´ I IA

Hoja 5

Curso 2003/2004

1. Usando la definici´n, estudiar si los siguientes conjuntos son compactos en los o espacios que se indican (i) (ii) (iii) (iv)
1 {(−1)n + n : n ∈ N \ {0}} ⊂ R con la topolog´ usual. ıa Q ⊂ R con la topolog´ usual. ıa [0, 1) ⊂ R con la topolog´ del l´ ıa ımite inferior. 2 [0, 1] × {3} ⊂ R con el orden lexicogr´fico. a

2. Si A ⊂ X es un conjunto finito de puntos, ¿es compacto cualquiera que sea la topolog´ en X? ıa 3. Si un espacio es compacto con cierta topolog´ ¿lo es necesariamente con una ıa, menos fina? ¿y con una m´s fina? a 4. Sea A ⊂ X y supongamos que la topolog´ heredada por A es la discreta. Dar ıa una condici´n necesaria y suficiente sencilla para la compacidad de …ver más…

Demostrar que k=0 3n 3n (i) (ii) (iii) (iv) Las componentes conexas de C son los puntos. C es compacto. C es perfecto (es decir, todos sus puntos son de acumulaci´n). o C no es numerable.

22. Sea X = {(x, y) ∈ R2 : x2 = y 2 , x, y ∈ [−1, 1]}, con la topolog´ usual. ıa ¿Existe alguna funci´n continua y sobreyectiva de X en R? ¿Y de R en X? o 23. Demostrar el siguiente resultado conocido como teorema de la aplicaci´n o contractiva: si X es un espacio m´trico compacto y f : X → X es una aplicaci´n e o contractiva (es decir, existe K < 1 tal que d(f (x), f (y)) ≤ Kd(x, y) para todo x, y ∈ X) entonces existe un unico punto x ∈ X tal que f (x) = x. Sugerencia: si ´ a ∈ X, considerar la sucesi´n x1 = a, xn = f (xn−1 ). o ∗∗24. Sean X e Y espacios de Hausdorff y sea f : X → Y continua. (I) Dada una familia {Ci }i∈I de conjuntos compactos de X tal que dados i, j ∈ I existe k ∈ I con Ck ⊂ Ci ∩ Cj , probar que f (∩Ci ) = ∩f (Ci ). (II) Si X = Y , deducir que existe un subconjunto A de X tal que f (A) = A. Sugerencia: Definir A = f (X) ∩ f 2 (X) ∩ · · · ∩ f n (X) ∩ · · · 25. Demostrar que R2 y S 2 no son homeomorfos. 26. Demostrar que si Y es compacto entonces π1 : X × Y → X es cerrada. (Sugerencia: Si A es cerrado y x ∈ π1 (A), hallamos un “tubo” T = Ux × Y tal que / T ∩ A = ∅). Dar un ejemplo de un conjunto no compacto en R2 cuyas proyecciones sean compactas. ∗27. Sea X un espacio topol´gico e Y un espacio de Hausdorff compacto. Probar o que f : X → Y es continua si