Trabajo de cálculo integral

Introducción

Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de física.

Le daremos un enfoque histórico y veremos algunos ejemplos que surgieron hace más de 2.000 años, cuando los griegos inventaron el método de exhaución para calcular áreas de figuras planas. Veremos la relación que hay entre el área y la integral definida y la regla de
Barrow, conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Calcularemos también volúmenes de revolución, además de áreas, por medio de integrales definidas.

Nos parece interesante, antes de definir la …ver más…

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar el la figura de abajo.
Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior.
El radio exterior (radio más grande) lo determina la función f y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función g.

Área de la arandela: A=πR2-πr2
R=fx y r=gx
Entonces,
Ax=πfx2-πgx2
Factorizando π , nos queda,
A=πfx2-gx2

Ahora podemos establecer la siguiente definición:
El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x ( o algún eje paralelo a él) viene dado por: V=abπfx2-gx2

Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a él) tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver que V=cdπfx2-gx2

Es una expresión válida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con