Sistemas No-Lineales
Profesor: Mar´ Etchechoury ıa Departamento de Matem´tica, Facultad de Ciencias Exactas a Universidad Nacional de La Plata e-mail: marila@mate.unlp.edu.ar

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Introducci´n o
En distintas ramas de la F´ ısica y de la Ingenier´ se utilizan los sistemas no-lineales ıa para modelar por ejemplo circuitos el´ctricos, sistemas mec´nicos, procesos qu´ e a ımicos, etc. En este Curso estudiaremos sistemas din´micos modelados por un n´mero finito de a u ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: x1 = f1 (t, x1 , . . . , xn ) ˙ x2 = f2 (t, x1 , . . . , xn ) ˙ . . . xn = fn (t, x1 , . . . , xn ) ˙ dxi . dt Llamamos a las variables x1 , x2 , . . …ver más…

Observar que el campo vectorial en un punto es tangente a la trayectoria en ese punto. Luego, puede construirse la trayectoria desde un estado inicial x0 , a partir del diagrama del campo vectorial. Llamamos retrato de fase o plano de fase del sistema a la familia de todas las trayectorias o curvas soluci´n del sistema. Nos preguntamos c´mo puede construirse el retrato o o de fase de un sistema planar? 1. Mediante un simulador de sistemas no lineales, dibujando trayectorias a partir de un n´mero grande de estados iniciales sobre el plano x1 − x2 , es decir, computau cionalmente. 2. Mediante el m´todo de las isoclinas: Se considera la pendiente de la trayectoria en e un punto dado (x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 ) s(x1 , x2 ) = . f1 (x1 , x2 ) Las ecuaci´n s(x1 , x2 ) = c, con c constante, define sobre el plano x1 − x2 una curva o a lo largo de la cual las trayectorias del sistema planar tienen pendiente c. Es decir, cuando una soluci´n cruza la curva s(x1 , x2 ) = c, lo hace con pendiente c. o Para visualizar este m´todo consideraremos un ejemplo cl´sico: la ecuaci´n del e a o p´ndulo. Su din´mica esta representada por la siguiente ecuaci´n diferencial de e a o segundo orden: ¨ ˙ mlθ = −mg sin θ − klθ, (1.1) 4

donde l representa la longitud de la varilla del p´ndulo, m la masa de la bolilla que e se encuentra al final de la varilla, θ es el ´ngulo entre el eje