Axiomas de Orden
Supondremos que existe n subconjunto de R que lo notaremos R+. O1. Si x ∈ R+ y y ∈ R+, entonces x + y ∈ R+ y x ⋅ y ∈ R+. O2. Para todo número real x, se verifica una y solo una de las condiciones siguientes: i) x ∈ R+ ii) − x ∈ R+ o iii) x = 0

O3. Diremos que a < b si b − a > 0 a < b ⇔ ∃c ∈ R, tal que a + c = b Propiedades: 1. a < b ⇔ a + c < b + c Demostración: ⇒ P.D: a 0 ⇔ b − a + c + ( − c) > 0 ⇔ ( b + c) + [( − a) + ( − c) ] > 0 ⇔ ( b + c) + [ − ( a + c) ] > 0 ⇔ ( b + c) − ( a + c) > 0 ⇔ ( b + c) − ( a + c) > 0 ⇒ a+c bc )

Demostración: Tenemos, a 0 y c>0

Entonces por O1 se cumple que,

(b − a) ⋅ c > 0
Luego,

(b − a) ⋅ c = b ⋅ c − a ⋅ c > 0
Y por tanto, a ⋅c < b⋅c

Ahora también, a 0 y c < 0 ⇒ −c