Cap´ ıtulo 3

N´ meros reales u
El campo de los n´meros reales se puede definir suponiendo que se tiene los n´meros racionales u u y definiendo un n´mero real en t´rminos de n´meros racionales. Este fue el m´todo usado por u e u e Richard Dedekind. Por otra lado, se puede definir el sistema de los n´meros reales por un conjunto u de axiomas y posteriormente demostrar que los n´meros racionales pueden considerarse como un u subconjunto de los n´meros reales. Este es el m´todo que se usar´ en estas notas. u e a

3.1.

Axiomas de los n´ meros reales u

El campo de los n´meros reales es un conjunto R y dos operaciones, adici´n y multiplicaci´n u o o que satisfacen los siguientes axiomas: 1. Cerradura. Si a, b ∈ R, entonces a + b ∈ R y a …ver más…

e u Ejemplo 3.11. Calcular las siguientes potencias: 1. (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16 2. −24 = −(2 · 2 · 2 · 2) = −16 Definici´n 3.12. Sean a ∈ R, a ̸= 0 y n ∈ Z+ , se define a0 = 1 y a−n = o 1 an

Teorema 3.13 (Propiedades de los exponentes). Sean a, b ∈ R y n, m ∈ Z+ : 1. am · an = am+n 2. am = am−n an

3. (am )n = amn 4. (ab)n = an bn ( a )n an = n 5. b b ( a )−n ( b )n 6. = b a 7. a−n bm = n −m b a

Definici´n 3.14. Sea n un entero impar positivo y a un n´mero real cualquiera, se dice que b es o u √ la n-´sima ra´ de a si a = bn . El n´mero b se denota con n a o por a1/n . e ız u

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´ CAP´ ITULO 3. NUMEROS REALES

M´s adelante se ver´ que si n es un entero par positivo entonces no hay ning´n n´mero b tal a a u u n si a < 0, y que hay dos n´ meros tales que a = bn si a > 0. As´ si n es un entero par que a = b u ı, positivo suponemos que para cada n´mero a ≥ 0 hay un n´mero unico b ≥ 0 tal que a = bn . El u u ´ √ n´mero no negativo b se denota por n a o por a1/n y se llama ra´ n-´sima de a. El significado de u ız e √ n m m/n . la expresi´n a es a o El s´ ımbolo omite. √ · se llama radical, x se llama radicando o subradical y n ´ ındice, cuando n = 2 se

Ejemplo 3.15. Justificar las siguientes igualdades: √ 1. 4 16 = 2 √ 2. 3 −8 = −2 √ 3. 4 16 = 2 √ 4. −4, no existe en los n´meros reales u √ 5 5. a3 = a3/5 Teorema 3.16 (Propiedad de los radicales). Sean a ∈ R y n ∈ Z+ , entonces: √ 1. n an = a si n es impar √ 2. n an = |a| si n