La Paz, Baja California Sur
Martes 16 de octubre de 2012

1. Sobre una circunferencia escribe en orden los números naturales del 1 al 1000. Empezando con el 1, tacha cada decimoquinto número (es decir, tacha el 1, 16, 31, etc.). Continúa este procedimiento hasta que corresponda tachar un número de los ya tachados. ¿Cuántos números quedan sin tachar?

Para que se vuelva a tachar uno de los ya tachados, debe ser el 1 el primero.
Esto nos hace calcular el mínimo común múltiplo de 15 y 1000 para saber después de cuántas vueltas completas se vuelve a tachar el 1.

El mínimo común múltiplo es 3000, así que se debe dar tres vueltas para tachar. En la primera vuelta se van a tachar todos los números que dejan residuo 1 al dividirse entre …ver más…

Quiere decir que [pic], [pic] y [pic] sólo pueden dejar residuos 1 o 6. Haciendo todas las posibles combinaciones, el resultado de x3 + y3 – z3 será como se muestra a continuación:

|x3 |y3 |z3 |x3 + y3 – z3 |
|1 |1 |1 |1 |
|1 |1 |6 |3 |
|1 |6 |1 |6 |
|1 |6 |6 |1