LIMITE DE UNA CONSTANTE

Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términos matemáticos, se expresa como:

Dado el punto a, y según la anterior definición, existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados límite por la derecha (x®a+) y límite por la izquierda (x®a-). Por definición, para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales(por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ello se expresa como:

Propiedades de los …ver más…

| | f(x)=sgn x |
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abscisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Continuidad
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad | f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0)) |

| | f(x) = x2 si x <= 2 2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0 |
Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".
Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).
Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).
La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.
Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado