Integrales m´ltiples u
C´lculo II (2004) a
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El objetivo de este cap´ ıtulo es definir y aprender a calcular integrales de funciones reales de varias variables, que llamamos integrales m´ltiples. u Las motivaci´n m´s directa de ´stas integrales es el c´lculo de vol´menes, o a e a u encontrando adem´s aplicaciones en la geometr´ y la f´ a ıa ısica.

1.

Definici´n de la integral de Riemann en o intervalos de Rn

Consideremos un subconjunto I de Rn , que llamamos rect´ngulo o tama bi´n intervalo, de la forma e I = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : a1 ≤ x1 ≤ b1 , . . . , an ≤ xn ≤ bn }, donde a1 < b1 , . . . , an < bn son n pares de n´meros reales. Alternativamente u el intervalo I se puede ver como el producto cartesiano de los intervalos …ver más…

Es claro que P + Q es posterior a P y es posterior a Q. Obs´rvese que P ∪ Q e no necesariamente es una partici´n. o Teorema 1. Consideremos f : I → R acotada, I intervalo en Rn . (a) Si Q es posterior a P , tenemos s(f, P ) ≤ s(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P ). (b) Si P y Q son particiones arbitrarias, tenemos s(f, P ) ≤ S(f, Q). Demostraci´n. Comencemos por (a), con Q posterior a P . Consideremos un o bloque B fijo determinado por P , y todos los bloques C determinados por Q y contenidos en B. Como C ⊂ B tenemos eC ≥ eB , de donde eC vol(C) ≥
C⊂B C⊂B

eB vol(C) = eB
C⊂B

vol(C) = eB vol(B).

3

Calculamos ahora la suma inferior con respecto de Q sumando en dos etapas: para cada bloque de B de P sumamos en todos los bloques C ⊂ B de Q, y luego en los bloques de P , es decir s(f, Q) =
B⊂I C⊂B

eC vol(C) ≥
B⊂I

eB vol(B) = s(f, P ),

completando la demostraci´n de la primera desigualdad. La segunda es ino mediata, porque eB ≤ EB , y la tercera es an´loga a la primera. a Para ver entonces (b), como P + Q es m´s fina que P y que Q, aplicando a (a), tenemos s(f, P ) ≤ s(f, P + Q) ≤ S(f, P + Q) ≤ S(f, Q). Esto concluye la demostraci´n del teorema. o Definici´n 1 (Integral de Riemann). Consideremos f : I → R, acotada, o donde I es un intervalo en Rn . (a) Definimos la integral inferior y la integral superior, que designamos f ,
− I −I

f respectivamente, mediante f = sup{s(f, P ) : P