NUMEROS REALES
I. NUMEROS NATURALES. Los números mas simples y que a su vez fueron conocidos primero son los números naturales que se significan con la letra N: 1,2,3,4... Entre los números naturales se definen las operaciones de suma y multiplicación. Para la suma(+) y multiplicación (*) o ( ) los números naturales satisfacen los siguientes axiomas: 1.-Conmutativa de la suma. a + b =b + a 2.-Asociatividad de la suma (a + b) + c = a + (b + c ) 3.-Conmutativa de la multiplicación a * b = b * a 4.-Distributiva de la multiplicación c(b + a) = c * b +c * a con respecto a la suma. 5.-El conjunto N es cerrado a la si a + b = c entonces c pertenece a N operación suma 6.-El conjunto N es cerrado a la si a * b = c entonces c pertenece a N …ver más…

El cero mismo no es ni lo uno ni lo otro.

* ...-6

*

* -5

* -4

* -3

* -2

* -1

* 0

* 1

* 2

* 3

* 4...

Esta relación de orden la cumplen los números naturales y , como se vera, los números fraccionarios y los reales. Otra forma de definir la relación de desigualdad se tiene con: a < b si y solo si b = a + u , siendo u un numero positivo.

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Se postulan como propiedades de los números positivos las siguientes: (I) Si a y b son números positivos, a + b es positivo (II)Si a y b son positivos, ab es positivo (III)Dado un numero a se satisface una y solo una de las tres condiciones siguientes: i)a es positivo ii)a es cero iii)-a es positivo Por lo dicho, a > 0 implica que a es positivo. La relación de desigualdad satisface los siguientes teoremas: Teorema 1: Si a < b, para todo numero c se cumple: a+c 0 b - a + (c - c) > 0 b-a+c-c>0 b+c-a-c>0 y b+c>a+c

Teorema 2: Si a< b y c > 0 se cumple: ac < bc. Demostración. a < b si y solo si b - a > 0, c > 0 y, por lo tanto, (b - a) c > 0 bc - ac > 0 bc > ac

Ley de la tricotomía: Para dos números enteros a y b una de las tres relaciones siguientes se cumple: a 0 c/d > a/b si y solo si c/d - a/b > 0 y c/d - a/b = cd - ad/bd y, por lo tanto, c/d - a/b > 0 si y solo si cb - ad / bd > 0 y esto ultimo solo si (cb - ad) bd > 0 es decir, si se cumple cb^2d > ad^2b. NOTA: El ordenamiento entre los números entero y los números racionales resulta pues del ordenamiento entre los