AREA DE UNA REGIÒN PLANA
1.- Área de Figuras en Coordenadas Rectangulares
1.1.- Definición.- el área de la región R del plano XY comprendida entre las dos curvas x = a y x = b, se define mediante:

A=AR=ab|fx-gx|dx |

En la figura, el rectángulo genérico tiene altura h=|fx-g(x)|; base dx y área dA=|fx-g(x)|dx. El límite de las sumas de tales áreas es igual aab|fx-g(x)|dx según la definición de integral definida.
1.2.- Caso Particular.- Si f(x) > 0 en el intervalo cerrado [a, b] entonces: A= abf(x)dx |
Es el área bajo la curva f(x), el eje x y las rectas verticales x=a, x=b.
1.3.- Definición.- el área de la región S del plano XY comprendida entre las dos curvas continuas f(x) y g(x) y las rectas horizontales y=c e y=d, …ver más…

Solución despejando y de la ecuación y2-2xy-x3-x2=0 y=x±x3 Sean entonces y1=x+x3 , y2=x-x3

El área buscada es
A=04y1-y2dx=204x3=45x5204=1285.

Problema 11
Hallar m de manera que la región bajo la parábola y=2x-x2 y sobre la recta y=mx tenga un area igual a 36
Solución

Calculamos las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la recta y=2x-x2=mx, mx+m-2=0, de donde x=0, x=2-m
Luego
A=36=02-m2x-x2-mxdx= 2-mx22-x3302-m=2-m36 y 2-m=6, m=-4.

Problema 12
Hallar el área de la región comprendida entre las curvas xy=1, y=xx2+1, a la derecha de la recta x = 1.
Solución Tenemos
A=1∞1x-xx2+1dx
=limb→∞lnx-12lnx2+11b
=limb→∞lnbb2+1+12ln2
=ln1+12ln2=12ln2.

Problema 13
Calcular el área acotada por la curva y=1x2+1 y el eje x.
Solución

A=20∞bx2+1dx=2limb→∞arctanx0b
=2limb→∞arctanb=2π2=π.
Problema 14
Encontrar el área de la región acotada por la curva y2=1-x22.
Solución Tenemos y=±1-x23, donde y1=1-x23, y2=-1-x23 .
Tenemos

A=4011-x232
=40π21-sen2t32costdt, haciendo x=sent
=40π2cos4tdt=0π21+cos2t2dt
=0π21+2cos2t+cos22tdt
=0π232+2cos2t+cos4t2dt
=32t+2sen 2t+sen4t4 0π2=3π4
Problema 15
Calcular el área de la región que limita la astroide x23+y23=a23

Solución Tenemos y=±a23-x2332,
De