Desigualdades
José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com)

1. Introducción
Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemática. Existen libros completos dedicados a su estudio, y en las competencias internacionales de problemas aparecen con frecuencia. Todo solucionista experto debe estar familiarizado con varias de ellas y con las técnicas generales para su manejo.
En lo que sigue se supone que el lector domina las propiedades básicas de las desigualdades entre números reales.
La desigualdad fundamental satisfecha por cualquier número real, y de la cual en cierto sentido se derivan todas las demás, es sencillamente

x2 ≥ 0, con igualdad si y sólo si x = 0. Más en general

x2 + x2 + · · · + x2 + ≥ 0,
1
2 n con igualdad si y …ver más…

Sean a, b y c los lados de un triángulo y ∆ su área. Probar que
√
a2 + b2 + c2 ≥ 4 3∆.

Solución. Para este problema hay numerosas soluciones, pero veamos que se puede resolver con los recursos más elementales. Si el triángulo fuese equiláte√
√
ro entonces su altura sería a 3/2 y su área a2 3/4, por lo tanto se cumpliría la igualdad. Para un triángulo cualquiera supongamos que a sea el lado mayor y sea P el pie de la altura trazada desde el vértice A. Sea x = BP − a/2
√
(por lo tanto BP = a/2 + x y P C = a/2 − x). Sea y = ha − a 3/2 (de
√
donde ha = y + a 3/2). La idea para introducir x e y es que estas cantidades representan la desviación del triángulo respecto a uno equilátero. Entonces, por el Teorema de Pitágoras aplicado a los triángulos ABP y AP C se tiene
√
√ a a a2 + b2 + c2 − 4∆ 3 = a2 + ( + x)2 + ( − x)2 + 2h2 − 2a 3ha a 2
2
√
32
2
=
a + 2x + 2ha (ha − a 3)
2
√
√
32 a + 2x2 + 2(a 3/2 + y )(−a 3/2 + y )
=
2
3
32 a + 2x2 + 2y 2 − a2 = 2(x2 + y 2 ) ≥ 0.
=
2
2
Esto prueba la desigualdad y de paso muestra que hay igualdad si y sólo si x = y = 0, lo que equivale a que el triángulo sea equilátero.
2

3. Algunas desigualdades importantes
Una desigualdad muy básica cuando se trabaja con números positivos y negativos es la llamada desigualdad triangular :

|x1 + x2 + · · · + xn | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |.
La igualdad se da si y sólo si todos los xi no nulos son del mismo signo.
La