CAPÍTULO 6 TEOREMAS ENERGÉTICOS

LA ENERGÍA ELÁSTICA EXPRESADA EN FUNCIÓN DE LAS CARGAS APLICADAS
Hasta ahora, habíamos utilizado la siguiente expresión de la densidad de energía elástica:

1 ω = (σ xε x+σ yε y + σ z ε z+τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ xzγ xz ) 2
Que, integrada a lo largo de todo el sólido, nos proporcionaba la energía elástica almacenada por éste.

¿Podríamos expresar dicha energía en función de las cargas aplicadas al sólido o en función de los desplazamientos que en él se producen?

Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como …ver más…

W x ¿F? A xA NA y

yB

δyG

. .G

A δxA

2 2 x A + y B = ( x A − δx A ) + ( y B + δ y B ) 2

2

= L2

δy B =

xA δx A yB

⇒

δy G =

δy B
2

=

1 2

xA δx A yB

Text = Fδx A − WδyG = 0 ⇒ Fδx A = W

1 xA δx A 2 yB

⇒ F=

W xA 2 yB

Caso de un sólido deformable

Consideremos un sólido en equilibrio bajo la acción de un sistema de r cargas Fi , como se muestra en la figura. En cualquier punto genérico (Q) del sólido, el tensor de tensiones verificará las ecuaciones de r equilibrio interno. Sean ui los desplazamientos de los puntos del sólido. r r F2 , u 2 u5 r

r r F1 , u1

[T ]
Q

r Sistema de desplazamientos reales: ui r r F3 , u 3

Sistema de fuerzas reales:

Fi

r r F4 , u4 u7 u6

Sólido elástico en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas y unas ligaduras

r Sometamos al sólido anterior a un segundo sistema de fuerzas virtuales δFi r

como se muestra en la figura. Sean δui los desplazamientos virtuales de los puntos del sólido, los cuales no violan las condiciones de contorno del sólido. δ F5

r δu 2
Sistema de tensiones virtuales: Sistema