LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Todo giraba en torno a' la siguiente pregunta:
Que es un numero real?
Esta pregunta un poco difícil de contestar, a la cual se le pudo dar respuesta hasta mediados del siglo XIX.
Al hombre en ese momento le eran suficientes los racionales para satisfacer la mayoría de las necesidades numéricas; sin embargo, dentro de ellos no se encontraban soluciones para ecuaciones tan sencillas como X2-2=0
Pasando a la geometría, los antiguos griegos creían que dos segmentos siempre eran conmensurables, es decir, que tomando uno de ellos como unidad para medir el otro, el resultado de la medición era un numero racional. En esta creencia basaron buena parte de su trabajo sobre la semejanza de figuras y la …ver más…

Si dibujamos este conjunto de racionales sobre una recta aparecería más o menos en la forma siguiente:

X
C

Este dibujo no puede ser exacto porque sabemos que los puntos de una recta están en correspondencia biunívoca precisamente con el conjunto de los números reales y no con el de los racionales.
Al mirar el grafico, no solamente vemos a C (los menores que x) sino también el conjunto D de los mayores de x.

X
C
D

Por este motivo, muchos autores prefieren decir que el número real x se define mediante una pareja (C,D) de conjuntos de racionales, y llaman a la pareja una cortadura.
Una característica esencial de los números reales es su completes, la cual grosso modo significa que si colocamos los reales sobre una recta (mediante la introducción de ésta de un sistema coordenado), los reales copan todos los puntos de la recta, de modo que si por algún procedimiento cortásemos la recta por cualquier punto, en dicho punto siempre se debería encontrar un número real. Todos los racionales que se hallan estrictamente a la izquierda del corte, vienen a constituir lo que es llamado una cortadura. El real se halla “pegado” a los racionales de la cortadura, o sea que entre èl y los racionales de la cortadura no existe ningún otro real. En consecuencia, el real se halla determinado unívocamente por los racionales