CAP´ ITULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

SECCIONES A. Integrales impropias de primera especie. B. Integrales impropias de segunda especie. C. Aplicaciones al c´lculo de ´reas y vol´menes. a a u D. Ejercicios propuestos.

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A. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE.

El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos cerrados [a, b], con a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones. Ello da lugar a las integrales impropias. Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo de integraci´n es infinito, ya sea de la forma (a, ∞), (−∞, b) o bien (−∞, ∞), o pero la funci´n est´ acotada. Para cada uno de los casos indicados se defio a ne
∞ B

f (x) dx = a b …ver más…

Si l´ g(x) = 0, entonces ım x→∞ a

f (x)g(x) dx converge.

(5) Criterio de la serie asociada. Sea f una funci´n decreciente y no o negativa ∀x ≥ a, y tal que l´ f (x) = 0. Entonces ım x→∞ ∞

f (x) dx converge ⇐⇒ a f (n) converge.

PROBLEMA 12.1
∞

Calcular a xn dx con a > 0.

Soluci´n o Para n = −1, b F (b) = a xn+1 x dx = n+1 n b

= a 1 (bn+1 − an+1 ). n+1
∞

Si n > −1, entonces l´ F (b) = ∞, con lo que ım b→∞ a

xn dx diverge.

Si n < −1, entonces la integral converge y
∞ b→∞

l´ F (b) = ım a xn dx = − 112

an+1 . n+1

Para n = −1, b F (b) = a b→∞

dx = ln b − ln a x

y, como l´ F (b) = ∞, la integral diverge. ım

PROBLEMA 12.2
0

Calcular
−∞

ex dx.

Soluci´n o Resolvemos directamente la integral:
0 0

ex dx = l´ ım
−∞

a→−∞ a

ex dx = l´ ım

a→−∞

ex

0 a

= l´ (1 − ea ) = 1. ım a→−∞ PROBLEMA 12.3
∞

Estudiar la convergencia de la integral
0

1 √ dx. ex

Soluci´n o Calcularemos directamente la integral aplicando la definici´n de integral o impropia.

∞ 0

1 √ dx = l´ ım b→∞ ex

b 0

e−x/2 dx = l´ ım −2e−x/2 b→∞ b 0

= l´ (−2e−b/2 +2) = 2, ım b→∞ de lo que se deduce que la integral es convergente.

PROBLEMA 12.4
∞

Estudiar la convergencia de la integral
−∞

e−a|x| dx, a ∈ R.

Soluci´n o En primer lugar, si a = 0, e0 = 1 y la integral diverge. 113

Si a = 0, descomponemos la integral en dos