Notas sobre tensores
Algebra Lineal - Observatorio

Introducci´n o Estas notas est´n pensadas como una introducci´n elemental a la teor´ de tensores, a o ıa desde un punto de vista “coordenado”. De esta forma, no desarrollamos el producto tensorial de espacios vectoriales sino que introducimos la noci´n de tensor de forma aislada o para despu´s ponerla dentro de un contexto m´s gen´rico. e a e Para la comprensi´n completa de este material , el lector deber´ realizar los ejercicios o a que est´n entre el texto de la teor´ (pues en ellos se desarrollan varios puntos te´ricos a ıa o adicionales). En la parte final, se detalla una lista de ejercicios adicionales para la completar la pr´ctica de este tema. a 1. …ver más…

Dada una base, tanto u o a un funcional como un vector quedan determinados por n coeficientes (coordenadas), de forma que al pasar a una nueva base estos coeficientes se transforman linealmente (a trav´s e de la matriz de cambio de base). Los coeficientes de una funcinal lineal as´ como los de ı un vector son ejemplos de tensores, entendiendo por un tensor una familia de n-uplas de
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coeficientes que representan coordenadas en alguna base y que se transforman linealmente al cambiar una base por otra.
Es claro que, con respecto al espacio vectorial V los vectores y funcionales son entidades bien distintas. El hecho de que se trate de objetos distintos queda de manifiesto en la forma diferente (comparar las ecuaciones (3) y (4)) de pasar de un sistema de coordenadas a otro.
Mencionamos que ambos ejemplos son de tensores univalentes ya que se determinan por un sistema de n´meros que dependen de un ´ u ındice.

1.3.

Transformaciones lineales

Como antes, sea V un k -espacio vectorial con dimk V = n, con base B = {v1 , . . . , vn }.
Consideremos ahora un operador lineal T ∈ L(V). Entonces T queda representado, con respecto a la base B por su matriz [T ] B = (ai )n j =1 ∈ k n×n (recordemos que, seg´n hemos u j i, convenido, el ´ ındice superior indica las filas y el inferior las columnas de la matriz de T ).
Al pasar la base B = {w1 , . . . , wn } entonces la matriz de T cambia seg´n u [T ]B = MB ,