XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones ´ XI Congreso de Matematica Aplicada Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009 (pp. 1–8)

Resoluci´n de la ecuaci´n de Ondas en 2-D y 3-D utilizando o o diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad. ´ ´ ´ ˜ Alvaro Casasus Acevedo1 , Juan Jose Benito Munoz1 , ˜ Francisco Urena Prieto2 , Luis Gavete Corvinos3
Dpto. de Construcci´n y Fabricaci´n, Universidad Nacional de Educaci´n a Distancia, Madrid. o o o E-mail: pepcasasus@gmail.com, jbenito@ind.uned.es. 2 Dpto. de Matem´ticas, Universidad de Castilla-La Mancha, Ciudad Real. E-mail: a francisco.urena@uclm.es. Dpto. de Matem´tica Aplicada a los Recursos Naturales, Universidad Polit´cnica de Madrid. E-mail: a e …ver más…

Si en la ecuaci´n 4 los t´rminos de orden superior al segundo son eliminados, se obtiene o e la aproximaci´n de segundo orden para Uj . Si se representa este valor por uj . Entonces es o posible definir
8

B(u) = j=1 [(u0 − uj + hj

2 ∂u0 ∂u0 h2 ∂u2 kj ∂u2 ∂u2 j 0 0 0 + kj + + + hj kj )w(hj , kj )]2 (5) ∂x ∂y 2 ∂x2 2 ∂y 2 ∂x∂y

donde w(hj , kj ) es la funci´n de ponderaci´n. o o Si la expresi´n 5 es minimizada con respecto a las derivadas parciales, se obtiene el siguiente o sistema de ecuaciones lineales A5 Du5 = b5 (6) Resolviendo el sistema 6 y teniendo en cuenta que hj = kj = h, se obtienen las siguientes f´rmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales o 1 ∂ 2 U (x0 , y0 , n t) ∂ 2 U (x0 , y0 , n t) + = 2 (−20un +4un +un +4un +un +4un +un +4un +un ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ∂x2 ∂y 2 6h (7) Aproximando la derivada segunda respecto del tiempo en el nodo central de la estrella por n−1 ∂U 2 (x0 , y0 , n t) un+1 − 2un + u0 0 = 0 ∂t2 ( t)2

(8)

o donde un y un+1 son los valores aproximados de la funci´n U (x, y, t) en el nodo central 0 0 de coordenadas espaciales (x0 , y0 ) para los tiempos n t y (n + 1) t respectivamente. Sustituyendo las ecuaciones 7 y 8 en la ecuaci´n 1, se obtiene la ecuaci´n lineal o o un+1 = 2un − un−1 + ( t)2 0 0 0 c2 [−20un + 4un + un + 4un + un + 4un + un + 4un + un ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6h2 (9)

3.

Convergencia en 2-D

De acuerdo con el teorema de equivalencia de Lax [4], si la