APUNTES DE

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
VOLUMEN 1

ÍNDICE
Capítulo
Estado de deformación Tema

Página

Deformación unitaria

4

Obtención de la matriz gradiente de deformación
Descomposición de la matriz gradiente de deformación en el tensor deformación unitaria y en la matriz de rotación
Cálculo de la deformación unitaria lineal y de la deformación unitaria angular en una dirección dada Cálculo de la nueva longitud y del giro que experimenta un segmento de recta, al pasa de la configuración inicial a la configuración deformada
Deformaciones unitarias principales
Estado de deformación plana
Representación gráfica de Mohr
Determinación de las deformaciones unitarias lineal y angular en una dirección. Método …ver más…

p

(4)

p 0

Dividamos la ambos miembros de la ecuación 2 entre p y tomemos límites cuando p 0 lim s/p = lim sl /p+ lim s/p

p 0

p 0

p 0

es decir
u = l + 

(5)

6
l = lim sl /p

(6)

 = lim s/p

(7)

p 0

p 0

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ GRADIENTE DE DEFORMACIÓN
El vector desplazamiento del punto P vale u v w s=

El vector desplazamiento del punto P1 vale s1 =

u1 v1 w1

El vector deformación entre los puntos P y P1
s = s1 - s =

s =

u1 - u v1 - v w1 - w

u
v
w

(8)

Dividamos la ecuación 8 entre p y tomemos límites cuandop 0 lim u/p
p 0

lim s/p =

lim v/p

p 0

p 0

(9)

lim w/p
p 0

Tomando en cuenta la ecuación 4
u = lim s/p = ds/dp
p 0

(10)

De la ecuación 9 ds/dp =
Por otra parte

du/dp dv/dp dw/dp

(11)

7 du = (u/x)dx + (u/y)dy + (u/z)dz dv = (v/x)dx + (v/y)dy + (v/z)dz dw = (w/x)dx + (w/y)dy + (w/z)dz
Sustituyendo en las ecuaciones 10 y 11
u =

(u/x)(dx/dp)+(u/y)(dy/dp)+(u/z)(dz/dp)
(v/x)(dx/dp)+(v/y)(dy/dp)+(v/z)(dz/dp)
(w/x)(dx/dp)+(w/y)(dy/dp)+(w/z)(dz/dp)

u =

u/x
v/x
w/x

u/y
v/y
w/y

u/z
v/z
w/z

dx/dp dy/dp dz/dp

es decir
u = D e

(12)

donde
u =

ux
uy
uz

D=

u/x
v/x
w/x

e=

dx/dp dy/dp dz/dp

u/y
v/y
w/y

u/z