Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Por ejemplo un triángulo cuyos lados miden 3,4 y 5 unidades es rectángulo porque 3² + 4² = 5². Las ternas de enteros que, como (3; 4; 5) verifican esta relación se llaman ternas pitagóricas.
Primera demostración
Supongamos el triángulo de catetos a y b (formando un ángulo recto) y la hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b, es decir que a² + b² = c². Si añadimos tres triángulos iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, …ver más…

En geometríael gran descubrimiento de la escuelafue el teorema de la hipotenusa conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierracomo un globo que gira junto a otros planetasalrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonidomusical, la llamada armonía de las esferas.
Se dice que Pitágoras fue discípulo de Tales, pero apartándose de la escuela jónica fundó en Crotona Italia la escuela Pitagórica.
Los egipcios conocieron la propiedaddel triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud, en los que se verifica la relación 52 = 32 + 42 , pero el descubrimiento de la relación a2 = b2 + c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se debe indiscutiblemente a Pitágoras.
Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos