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Lazos enganchados por fase (PLLs)




Enviado por Pablo Turmero



    Monografias.com

    Lazos enganchados por fase, Phase Locked Loops (PLLs)
    Conceptos previos:
    Función de transferencia de sistemas realimentados.
    Fases y frecuencias.
    (Gp:) Función de transferencia en lazo cerrado

    xe y xs pueden ser magnitudes de distinto tipo

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    Casos particulares con realimentación negativa ?1 + G(s)·H(s) ? > 1
    Alta ganancia de lazo ?
    G(s)·H(s) >> 1 ?
    xs(s)/xe(s) = 1/H(s)
    La red de realimentación determina la función de transferencia
    Con H(s)=1 y G(s) >> 1 ? xs(s)/xe(s) = 1 ? xs(s) = xe(s)
    ¡Ojo!: xs(s) y xe(s) no tienen por qué ser tensiones o corrientes; podrían ser, por ejemplo fases.

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    Fases y frecuencias (I)
    Señal de banda estrecha: v1(t) = a(t)·cos(F(t))
    (Gp:) v1(t)
    (Gp:) t

    Con amplitud constante: v1(t) = A·cos(F(t))
    (Gp:) v1(t)
    (Gp:) t

    F(t) es la fase absoluta

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    Fases y frecuencias (II)
    F(t) = wct + fr(t)
    v1(t) = A·cos(F(t))
    (Gp:) v1(t)
    (Gp:) t

    (Gp:) t
    (Gp:) F(t)

    (Gp:) fr(t1)

    (Gp:) wct1

    (Gp:) t1

    wc es una frecuencia constante cualquiera
    fr(t) es la fase relativa a la elección de wc
    (Gp:) t
    (Gp:) F(t)

    (Gp:) t1

    (Gp:) fr(t1)
    (Gp:) wct1

    (Gp:) w0t1
    (Gp:) f0(t1)

    Ahora buscamos una wc a la que fr(t) esté acotada:
    F(t) = wct + fr(t) =
    = w0t + f0(t)
    Así obtenemos w0 y f0(t). w0 es la frecuencia media

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    Fases y frecuencias (III)
    Resumen:
    F(t) = wct + fr(t) = w0t + f0(t)
    (w0 es la frecuencia media si f0(t) está acotada)
    Frecuencia instantánea y frecuencia relativa:
    d(F(t))/dt = w(t) = wc + d(fr(t))/dt = wc + wr(t)
    w(t) es la frecuencia instantánea, wc es una frecuencia cualquiera, y wr(t) es la frecuencia relativa a wc.
    ¡Ojo!: todas ellas son frecuencias angulares (en rad/s). Para pasar a frecuencias “en Hercios” hay que dividir por 2p.
    Otra forma de expresar la fase relativa:
    fr(t) = (w0- wc)·t + f0(t) = Dw·t + f0(t)

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    Estructura básica de un PLL (I)
    ve = Vesen(Fe)
    vosc = Voscsen(Fosc)
    (Gp:) Detector de fases:
    entrega una tensión proporcional a la diferencia de fases

    (Gp:) Oscilador controlado por tensión (VCO):
    la frecuencia de la señal de salida depende de una tensión de control

    (Gp:) Filtro pasa-bajos:
    Necesario para filtrar la salida del detector de fases

    (Gp:) V = k(DF)
    (Gp:) ve
    (Gp:) vosc
    (Gp:) Salida
    (Gp:) Entrada

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    Estructura básica de un PLL (II)
    (Gp:) ve = Vesen(Fe)
    (Gp:) vosc = Voscsen(Fosc)
    (Gp:) V = k(DF)
    (Gp:) ve
    (Gp:) vosc
    (Gp:) Salida
    (Gp:) Entrada

    Muy importante: como lo que se comparan son las fases de las señales de salida y entrada y como la ganancia de la red de realimentación es 1, el sistema tenderá a anular la diferencia de fases entre estas señales. Los niveles de tensión de ambas no serán similares.
    (Gp:) ve

    (Gp:) vosc

    (Gp:) DF

    (Gp:) En fase

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    Diagrama de bloques de un PLL (I)
    (Gp:) Vesen(Fe)
    (Gp:) Voscsen(Fosc)

    Estudiamos los PLLs aplicando la teoría de sistemas.
    (Gp:) Detector de fases:

    (Gp:) –
    (Gp:) VCO
    (Gp:) Conv. F/V
    (Gp:) Filtro pasa-bajos
    (Gp:) Fe
    (Gp:) Fosc
    (Gp:) Fosc

    Hay que localizar un punto de equilibrio para linealizar el funcionamiento del sistema. La clave está en el VCO.

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    VCO controlado por una tensión vc que puede tomar valores positivos y negativos.
    Diagrama de bloques de un PLL (II)
    Por tanto: wosc = wosc0 + 2p·KV·vc
    fosc = fosc0 + KV·vc (linealizando el comportamiento del varicap)
    (Gp:) +

    Ojo: en este
    caso KV > 0

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    Diagrama de bloques de un PLL (III)
    (Gp:) Como: wosc = wosc0 + 2p·KV·vc ? Fosc = wosc0·t + 2p·KV· vc·dt
    (Gp:) ?
    (Gp:) t
    (Gp:) 0

    Ahora referimos la fase absoluta Fosc a la frecuencia wosc0:
    Fosc = wosc0·t + fosc(vc)
    (Gp:) ?
    (Gp:) t
    (Gp:) 0
    (Gp:) Siendo fosc(vc) = 2p·KV· vc·dt la fase relativa

    Hacemos lo mismo (referir a la frecuencia wosc0) la fase absoluta Fe:
    Fe = wosc0·t + fe
    fosc
    fe
    vc
    Diagrama de bloques relativo a wosc0
    vDF
    (Gp:) fe- fosc

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    Diagrama de bloques de un PLL (IV)
    (Gp:) ?
    (Gp:) t
    (Gp:) 0
    (Gp:) VCO: fosc(vc) = 2p·KV· vc·dt

    Tomamos transformadas de Laplace y calculamos las funciones de transferencia:
    (Gp:) fosc
    (Gp:) fe
    (Gp:) vc
    (Gp:) vDF

    Ecuaciones:
    Filtro pasa-bajos vc = F(vDF)
    Convertidor F/V: vDF = KDF·(Fe – Fosc) = KDF·(fe – fosc)
    VCO: fosc(s)/vc(s) = 2p·KV/s
    Filtro pasa-bajos vc(s)/vDF(s) = F(s)
    Convertidor F/V: vDF(s)/Df(s) = KDF
    Restador de fases: Df(s) = fe(s) – fosc(s)

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    Diagrama de bloques de un PLL (V)
    (Gp:) –
    (Gp:) KDF
    (Gp:) F(s)
    (Gp:) 2p·KV/s
    (Gp:) Df(s)
    (Gp:) fosc(s)
    (Gp:) vc(s)
    (Gp:) vDF(s)
    (Gp:) fe(s)
    (Gp:) Conv. F/V
    (Gp:) Filtro pasa-bajos
    (Gp:) VCO

    Funciones de transferencia (I)
    (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s)/s
    (Gp:) Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) = =
    (Gp:) 1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s
    (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)

    (Gp:) TDf-fe (s) = Df(s)/fe(s) = 1- Tfo-fe(s) =
    (Gp:) s
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)

    Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s

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    Funciones de transferencia (II)
    Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s
    (Gp:) –
    (Gp:) Df(s)
    (Gp:) fosc(s)
    (Gp:) fe(s)
    (Gp:) Tfo-Df(s)

    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) Tfo-Df(s)
    (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)

    (Gp:) fosc(s)
    (Gp:) vc(s)
    (Gp:) fe(s)

    (Gp:) vc(s)
    (Gp:) fe(s)

    (Gp:) KDF·F(s)
    (Gp:) Tvc-fe(s) = vc(s)/fe(s) = =
    (Gp:) 1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s
    (Gp:) KDF·s·F(s)
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)

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    Funciones de transferencia (III)
    (Gp:) –
    (Gp:) Df(s)
    (Gp:) fosc(s)
    (Gp:) fe(s)
    (Gp:) Tfo-Df(s)

    Condición para que fosc(s) siga a un escalón de fe(s) en régimen permanente: que Df(s) se anule en régimen permanente
    Escalón en fe(s): fe(s) = fe1/s
    Entonces: Df(s) = TDf-fe (s)·fe(s) = TDf-fe (s)· fe1/s ?

    Teorema del Valor Final:
    (Gp:) TDf-fe (s) =
    (Gp:) s
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)

    (Gp:) Df(s) =
    (Gp:) fe1
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)

    (Gp:) lim Df(t) = lim s·Df(s) =
    (Gp:) fe1·s
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) t ? ?
    (Gp:) s ? 0

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    Funciones de transferencia (IV)
    Es decir, F(s) no puede tener un cero en cero.
    Por ejemplo: F(s) = 1/(1+ R·C·s) vale como filtro.
    (Gp:) lim s·Df(s) =
    (Gp:) fe1·s
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) s ? 0

    (Gp:) Para que lim Df(t) ? 0 ? F(s) ? s ·F’(s)
    (Gp:) t ? ?

    (Gp:) C
    (Gp:) R
    (Gp:) Entrada
    (Gp:) Salida
    (Gp:) F(s)

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    Funciones de transferencia (V)
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)

    Ejemplo: Kv = 105 Hz/V R·C = 10-6/p s KDF = 1-100 V/rad
    (Gp:) fosc(s)
    (Gp:) fe(s)
    (Gp:) –
    (Gp:) Tfo-Df(s)
    (Gp:) Tfo-fe(s)

    (Gp:) ?Tfo-fe(wj)?
    (Gp:) -60
    (Gp:) -40
    (Gp:) -20
    (Gp:) 0
    (Gp:) 20
    (Gp:) 103
    (Gp:) 104
    (Gp:) 105
    (Gp:) 106
    (Gp:) 107
    (Gp:) f [Hz]

    (Gp:) 10

    (Gp:) KDF = 100

    (Gp:) KDF = 1

    (Gp:) ?F(wj)?

    (Gp:) Diagrama de Bode

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    Funciones de transferencia (VI)
    (Gp:) fosc(s)
    (Gp:) fe(s)
    (Gp:) PLL
    (Gp:) Tfo-fe(s)

    Aplicamos los conceptos de frecuencia instantánea y frecuencia relativa a Fe y a Fosc :
    d(Fe(t))/dt = We(t) = wosc0 + we(t)
    d(Fosc(t))/dt = Wosc(t) = wosc0 + wosc(t)
    siendo:
    we(t) = d(fe(t))/dt
    wosc(t) = d(fosc(t))/dt
    (Gp:) PLL
    (Gp:) Fe
    (Gp:) Fosc

    Tomamos transformadas de Laplace:
    we(s) = s·fe(s)
    wosc(s) = s·fosc(s)
    Por tanto:
    Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) = wosc(s)/we(s)
    (Gp:) wosc(s)
    (Gp:) we(s)
    (Gp:) PLL
    (Gp:) Tfo-fe(s)

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    Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (I)
    (Gp:) wosc(s)
    (Gp:) we(s)
    (Gp:) PLL
    (Gp:) Tfo-fe(s)

    (Gp:) PLL
    (Gp:) We(t)
    (Gp:) Wosc(t)

    (Gp:) Fe
    (Gp:) t

    (Gp:) t
    (Gp:) Fosc

    (Gp:) wosc(s) = Tfo-fe(s)·we(s) = ·we1/s
    (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)

    (Gp:) We
    (Gp:) t
    (Gp:) we1
    (Gp:) wosc0

    (Gp:) Wosc
    (Gp:) t
    (Gp:) wosc0

    we(s) = we1/s

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    Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (II)
    (Gp:) wosc(s)
    (Gp:) we(s)
    (Gp:) PLL
    (Gp:) Tfo-fe(s)

    (Gp:) wosc(s) = ·we1/s
    (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)

    (Gp:) KDF = 100

    (Gp:) 0
    (Gp:) 2
    (Gp:) 4
    (Gp:) 6
    (Gp:) t [ms]
    (Gp:) we1
    (Gp:) wosc(t)

    (Gp:) KDF = 1

    (Gp:) KDF = 10

    (Gp:) F(t)

    Ejemplo anterior:

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    Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (III)
    Resumen de la respuesta ante un escalón en la frecuencia de entrada:
    Con una simple red RC como filtro, la frecuencia de la señal de salida en régimen permanente es la misma que la de entrada.
    La rapidez en la respuesta y la sobreoscilación depende del producto KV·KDF.
    (Gp:) PLL
    (Gp:) We(t)
    (Gp:) Wosc(t)
    (Gp:) We
    (Gp:) t
    (Gp:) we1
    (Gp:) wosc0
    (Gp:) Wosc
    (Gp:) t
    (Gp:) wosc0

    ¿Qué pasa con la fase de la señal de salida del oscilador ante un escalón en la frecuencia de entrada?
    (Gp:) Fe
    (Gp:) t

    (Gp:) t
    (Gp:) Fosc
    (Gp:) ?

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    Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (IV)
    Aplicando el Teorema del Valor Final:
    Como: we(s) = we1/s
    entonces: fe(s) = we(s)/s = we1/s2
    (Gp:) lim Df(t) = lim s·Df(s) = lim s·TDf-fe (s)·fe(s) ?
    (Gp:) t ? ?
    (Gp:) s ? 0
    (Gp:) s ? 0

    (Gp:) we1
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) lim Df(t) = lim =
    (Gp:) t ? ?
    (Gp:) s ? 0
    (Gp:) we1
    (Gp:) 2p·KV·KDF·F(0)

    (Gp:) Luego si queremos que lim Df(t) = 0, entonces KV·KDF·F(0) ???
    Es decir, hace falta un elemento con ganancia infinita en continua (por ejemplo, en el filtro).
    (Gp:) t ? ?

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    Conceptos de Orden y de Tipo de un PLL
    (Gp:) –
    (Gp:) Df(s)
    (Gp:) fosc(s)
    (Gp:) fe(s)
    (Gp:) Tfo-Df(s)

    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) Tfo-Df(s)
    (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)

    Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s)
    Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) =
    = 2p·KV·KDF·F(s)/s
    Orden: Número de polos de Tfo-fe(s)
    Tipo: Número de polos en s = 0 de Tfo-Df(s)

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    Ejemplo de la determinación del Orden y de Tipo de un PLL
    Ejemplo:
    Red RC como filtro: F(s) = 1/(1+ R·C·s)
    (Gp:) Tfo-fe(s) = =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F(s)
    (Gp:) 2p·KV·KDF
    (Gp:) R·C·s2 + s + 2p·KV·KDF

    (Gp:) Orden 2 (2 polos)

    (Gp:) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s =
    (Gp:) 2p·KV·KDF
    (Gp:) s·(1+ R·C·s)

    (Gp:) Tipo 1 (1 polo en s = 0)

    Como siempre la función de transferencia del integrador tiene un polo en cero, el Tipo mínimo posible es 1.

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    Relación entre el Orden y de Tipo de un PLL
    La función Tfo-Df(s) se puede escribir como:
    Tfo-Df(s) = PN(s)/PD(s) = PN(s)/(sn·P’D(s))
    siendo PN(s) y PD(s) los polinomios del numerador y del denominador y P’D(s) la parte del polinomio del denominador sin ceros en cero. Por tanto:
    (Gp:) Tfo-fe(s) = = =
    (Gp:) Tfo-Df(s)
    (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)
    (Gp:) PN(s)/(sn·P’D(s))
    (Gp:) 1 +PN(s)/(sn·P’D(s))
    (Gp:) PN(s)
    (Gp:) sn·P’D(s) + PN(s)

    Luego el Orden (número de polos de Tfo-fe(s)) ha de ser mayor o igual que Tipo (número de polos en s = 0 de Tfo-Df(s), es decir, n.

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    PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (I)
    Filtro: El filtro es un amplificador de ancho de banda infinito (no es, por tanto, un filtro) ? F(s) = F1
    Siendo: t = 1/(2p·KV·KDF·F1)
    (Gp:) Tfo-fe(s) = =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·F1
    (Gp:) s + 2p·KV·KDF·F1
    (Gp:) 1
    (Gp:) t·s +1

    Sistema de
    primer orden
    (Gp:) PLL
    (Gp:) We(t)
    (Gp:) Wosc(t)

    (Gp:) We
    (Gp:) t
    (Gp:) we1
    (Gp:) wosc0

    Escalón en la frecuencia de entrada: we(s) = we1/s ? wosc(s) = we1/(s·(t·s +1))

    Monografias.com

    PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (II)
    Respuesta de la frecuencia relativa del oscilador ante un escalón en la frecuencia de entrada: wosc(s) = we1/(s·(t·s +1)) ?
    wosc(t) = we1(1-e-t/t)
    (Gp:) we1

    (Gp:) t = 10ms

    (Gp:) t = 1ms

    (Gp:) 0
    (Gp:) 20
    (Gp:) 40
    (Gp:) 60
    (Gp:) t [ms]
    (Gp:) wosc(t)

    Monografias.com

    PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (III)
    Diferencia de fases entre las señales de entrada y salida ante escalón en la frecuencia de entrada:
    (Gp:) 0
    (Gp:) 20
    (Gp:) 40
    (Gp:) 60
    (Gp:) t [ms]
    (Gp:) Df(t)

    Como: we(s) = we1/s, entonces: fe(s) = we1/s2
    Como: TDf-fe(s) = t·s/(t·s + 1), entonces: Df(s) = TDf-fe(s)·fe(s) ?
    Df(s) = t·we1/(s·(t·s +1)) ? Df(t) = t·we1(1-e-t/t)
    (Gp:) t2 = 10ms
    (Gp:) t2·we1

    (Gp:) t1 = 1ms
    (Gp:) t1·we1

    Monografias.com

    PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (IV)
    Respuesta de la frecuencia relativa del oscilador ante un escalón en la fase de entrada:
    (Gp:) 0
    (Gp:) 5
    (Gp:) 7,5
    (Gp:) 10
    (Gp:) t [ms]
    (Gp:) wosc(t)

    (Gp:) t2 = 10ms
    (Gp:) fe1/t2

    (Gp:) t1 = 1ms
    (Gp:) fe1/t1

    (Gp:) PLL
    (Gp:) Fe(t)
    (Gp:) Wosc(t)

    (Gp:) Fe
    (Gp:) t

    fe(s) = fe1/s ?
    we(s) = s·fe(s) = fe1 ?
    wosc(s) = fe1/(t·s +1) ?
    wosc(t) = (fe1/t)·e-t/t

    Monografias.com

    PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (V)
    Diferencia de fases entre las señales de entrada y salida ante escalón en la fase de entrada:
    Como: fe(s) = fe1/s y TDf-fe(s) = t·s/(t·s + 1), entonces:
    Df(s) = TDf-fe(s)·fe(s) = t·fe1/(t·s +1) ? Df(t) = fe1·e-t/t
    (Gp:) fe1

    (Gp:) t = 10ms

    (Gp:) t = 1ms

    (Gp:) 0
    (Gp:) 20
    (Gp:) 40
    (Gp:) 60
    (Gp:) t [ms]
    (Gp:) Df(t)

    Monografias.com

    PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (VI)
    La diferencia de fases entre las señales de entrada y salida acaba anulándose y la frecuencia de ambas señales coincidiendo
    (Gp:) Fe
    (Gp:) t

    (Gp:) ve =Vesen(Fe)
    (Gp:) PLL
    (Gp:) vosc=Voscsen(Fosc)

    Evolución de las señales ante un escalón en la fase de entrada:

    (Gp:) ve

    (Gp:) vosc

    (Gp:) Escalón en la fase fe1 = p/2

    (Gp:) Df

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    PLL de Orden 1 y de Tipo 1 (VII)
    Es necesario que exista diferencia de fases en régimen permanente para que cambie la frecuencia de salida de tal forma que la frecuencia de ambas señales coincidan.
    (Gp:) ve =Vesen(Fe)
    (Gp:) PLL
    (Gp:) vosc=Voscsen(Fosc)

    Evolución de las señales ante un escalón en la frecuencia de entrada:

    (Gp:) Escalón en la frecuencia we1 = 0,25 wosc0

    (Gp:) We
    (Gp:) t
    (Gp:) we1
    (Gp:) wosc0

    (Gp:) vosc

    (Gp:) ve

    (Gp:) Df

    (Gp:) Df(?)

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    PLL de Orden 2 y de Tipo 1 (I)
    Filtro F(s) usado:
    F(s) = (1+s/wZ)/(1+s/wP)
    (Gp:) F(s)
    (Gp:) Salida
    (Gp:) C
    (Gp:) R1
    (Gp:) Entrada
    (Gp:) R2

    F(s) = (1+ R2·C·s)/[1+ (R1 + R2)·C·s]
    tiene un polo y un cero, siendo:
    wZ = 1/(R2·C) y wp = 1/[(R1+R2)·C)]
    (Gp:) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s)
    (Gp:) s·[1+(R1+R2)·C·s]

    (Gp:) Tipo 1 (1 polo en s = 0)

    Monografias.com

    PLL de Orden 2 y de Tipo 1 (II)
    (Gp:) Tfo-Df(s) =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s)
    (Gp:) s·[1+(R1+R2)·C·s]

    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) Tfo-Df(s)
    (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)

    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s)
    (Gp:) s·[1+(R1+R2)·C·s] + 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s)

    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·(1+R2·C·s)
    (Gp:) (R1+R2)·C·s2 + (1+ 2p·KV·KDF·R2·C)·s + 2p·KV·KDF

    (Gp:) ·s2 + ·s +1
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 1+R2·C·s
    (Gp:) 2p·KV·KDF
    (Gp:) 2p·KV·KDF
    (Gp:) (R1+R2)·C
    (Gp:) 1+ 2p·KV·KDF·R2·C

    (Gp:) Orden 2 (2 polos)

    Monografias.com

    PLL de Orden 2 y de Tipo 1 (III)
    (Gp:) ·s2 + ·s +1
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 1 + R2·C·s
    (Gp:) 2p·KV·KDF
    (Gp:) 2p·KV·KDF
    (Gp:) (R1+R2)·C
    (Gp:) 1+ 2p·KV·KDF·R2·C

    (Gp:) s2/(wp·K) + s·(1+K/wZ)/K + 1
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 1 + s/wZ
    (Gp:) Reagrupando términos:

    siendo: wZ = 1/(R2·C), wp = 1/[(R1+R2)·C)] y K = 2p·KV·KDF
    Escalón en la frecuencia de entrada: we(s) = we1/s ?
    (Gp:) s·(s2/(wp·K) + s·(1+K/wZ)/K + 1)
    (Gp:) wosc(s) =
    (Gp:) (1 + s/wZ)·we1

    Monografias.com

    PLL de Orden 2 y de Tipo 1 (IV)
    Ejemplo:
    K = 105-107 Hz/rad wp = 106p rad/s wZ = 5·106p rad/s
    (Gp:) K = 105

    (Gp:) K = 106

    (Gp:) K = 107

    (Gp:) 0
    (Gp:) 2
    (Gp:) 4
    (Gp:) 6
    (Gp:) t [ms]
    (Gp:) we1
    (Gp:) wosc(t)
    (Gp:) wZ = 5·106p rad/s
    wZ = ?

    (Gp:) wZ ? ?

    (Gp:) wZ = ?

    Con wZ ? ? existe más posibilidad de optimizar la respuesta dinámica.

    Monografias.com

    PLL de Orden 2 y de Tipo 2 (I)
    Filtro F(s) usado:
    F(s) = wP·(1+s/wZ)/s
    F(s) = [1+ (R1 + R2)·C·s]/(R1·C·s)
    tiene un polo en cero y un cero, siendo:
    wZ = 1/[(R1+R2)·C] y wP = 1/(R1·C)
    (Gp:) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s]
    (Gp:) s2·R1·C

    (Gp:) Tipo 2 (2 polos en s = 0)

    Monografias.com

    PLL de Orden 2 y de Tipo 2 (II)
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) Tfo-Df(s)
    (Gp:) 1 + Tfo-Df(s)

    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s]
    (Gp:) s2·R1·C + 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s]

    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s]
    (Gp:) R1·C·s2 + 2p·KV·KDF·(R1+ R2)·C·s + 2p·KV·KDF

    (Gp:) Orden 2 (2 polos)

    (Gp:) 2p·KV·KDF·[1+(R1+R2)·C·s]
    (Gp:) Tfo-Df(s) =
    (Gp:) s2·R1·C

    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 1 + (R1+R2)·C·s
    (Gp:) ·s2 + (R1+ R2)·C·s + 1
    (Gp:) 2p·KV·KDF
    (Gp:) R1·C

    Monografias.com

    PLL de Orden 2 y de Tipo 2 (III)
    (Gp:) s2/(wp·K) + s/wZ + 1
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 1 + s/wZ
    (Gp:) Reagrupando términos:

    siendo: wZ = 1/[(R1+R2)·C], wP = 1/(R1·C) y K = 2p·KV·KDF
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 1 + (R1+R2)·C·s
    (Gp:) ·s2 + (R1+ R2)·C·s + 1
    (Gp:) 2p·KV·KDF
    (Gp:) R1·C

    EL resultado es semejante al obtenido en el PLL de Orden 2 y Tipo 1 anterior. Luego se puede optimizar de igual forma la respuesta dinámica. La ventaja es que al ser de Tipo 2 se anula la diferencia de fases en régimen permanente ante un escalón de frecuencia.
    (Gp:) s2/(wp·K) + s·(1+K/wZ)/K + 1
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 1 + s/wZ
    (Gp:) Resultado
    anterior

    Monografias.com

    PLL de Orden 2 y de Tipo 2 (IV)
    F(s) = – [1+ R2·C·s]/(R1·C·s) ?
    F(s) = – wP·[1+ s/wZ]/s,
    siendo:
    wZ = 1/(R2·C) y wP = 1/(R1·C)
    Otra forma de realizar un PLL de Orden 2 y Tipo 2:
    (Gp:) s2/(-wp·K) + s/wZ + 1
    (Gp:) Tfo-fe(s) =
    (Gp:) 1 + s/wZ
    (Gp:) Procediendo como en el caso anterior:

    Para que salga lo mismo que en el caso anterior, K tiene que ser negativa. Como K = 2p·KV·KDF o bien KV < 0 o KDF < 0. En caso contrario, el PLL sería inestable, al menos que el detector de fases cambie el signo de KDF en función de la diferencia de fases.

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