Lógica difusa (página 2)

Partes: 1, 2

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Operaciones Difusas
Complemento:
NOT m(a) = 1 – m(a)
Intersección:
m Ç l(a) = min [m(a), l(a) ]
Unión:
m È l(a) = max [m(a), l(a) ]

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Ejemplo – “alto y bajo”
1:70
0
1
m(A)
A
“bajo”
“alto”

11
Ejemplo – “alto o bajo”
1:70
0
1
m(A)
A
“bajo”
“alto”

12
Ejemplo – “no alto”
1:70
0
1
m(A)
A
“alto”

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Relaciones Difusas
La relación difusa sobre dos conjuntos, A y B, es un subconjunto difuso sobre su producto cartesiano – a cada miembro del conjunto producto se le asigna un grado de membresía
Ejemplo:
B A 0 1 2
0 0.1 0.7 0.9
1 0 0.6 0.5

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Relaciones Difusas – Ejemplo
La relación difusa – “a es similar a b”
B A 0 1 2 3
0 1 0.7 0.3 0
1 0.7 1 0.7 0.3
2 0.3 0.7 1 0.7
3 0 0.3 0.7 1

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Operaciones
Las operaciones básicas sobre conjuntos difusos se extienden directamente a relaciones difusas
La composición de dos relaciones difusas se define como:
l ° m (a, b) = SupB min [m(a, b´), l(b´, c) ]

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Ejemplo de Composición
Relación a-b:
b1 b2 b3 b4 b5
a1 0.1 0.2 0 1 0.7
a2 0.3 0.5 0 0.2 1
a3 0.8 0 1 0.4 0.3
Relación b-c:
c1 c2 c3 c4
b1 0.9 0 0.3 0.4
b2 0.2 1 0.8 0
b3 0.8 0 0.7 1
b4 0.4 0.2 0.3 0
b5 0 1 0 0.8

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Ejemplo de Composición
Resultado – relación a-c:
c1 c2 c3 c4
a1 0.4 0.7 0.3 0.7
a2 0.3 1 0.5 0.8
a3 0.8 0.3 0.7 1
Para cada término – se toma el mínimo de cada valor del renglón de la primera matriz con la columna de la segunda, y el máximo de éstos. Por ejemplo:
R(1,1) = MAX [min(0.1,0.9), min(0.2,0.2), min(0,0.8), min(1,0.4), min(0.7,0) ] = 0.4

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Reglas de Producción Difusas
Extienden las reglas de producción tradicionales con la inclusión de términos difusos.
Ejemplos de reglas difusas:
Si el clima es caluroso entonces la alberca está llena
Si el agua está fría entonces cierra ligeramente la llave
Si el obstáculo está cerca entonces detente
Cada término (premisa, conclusión) corresponde a un conjunto difuso.

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Inferencia
Una regla difusa se puede representar como una relación difusa – expresando los valores de membresía de la conclusión para cada uno de los valores de las premisas
Ejemplo: Si agua fría entonces cierra llave
Temp Grados cierre 0 45 90
10 0 0.4 0.9
15 0.2 0.7 0.3

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Inferencia
Dada una entrada, mediante una función de membresía, la función conclusión se obtiene mediante la regla de composición
Regla composicional de inferencia:
f(x) – función de membresía de la entrada
g(x,y) – relación que expresa la regla
h(y) – función de membresía de la conclusión
h(y) = f ° g (y) = SupX min [ f(x), g(x,y) ]

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Inferencia – ejemplo
Regla: Si agua fría entonces cierra llave
Temp Grados cierre 0 45 90
10 0 0.4 0.9
15 0.2 0.7 0.3
Entrada: agua fría
Temp 10 – 0.8 15 – 0.3
Salida:
Grados cierre 0 45 90
0.2 0.4 0.8

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Defuzificación
La “salida” de una regla difusa es un conjunto difuso
En muchas aplicaciones es necesario transformar esta salida:
Aproximación lingüística – se transforma en una descripción “verbal”
Defuzificación aritemétcia – se extrae un valor escalar que represente al conjunto difuso

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Defuzificación
Defuzificación aritemétcia – dos formas básicas:
Valor máximo
Centro de área (o de momentos)
0
1
X

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Defuzificación
Para el ejemplo de la regla:
Salida:
Grados cierre 0 45 90
0.2 0.4 0.8
Máximo: 90
Momentos: (0*0.2 + 45*0.4 + 90*0.8)/1.4
= 64.28

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Ejemplo de Reglas Difusas –control de temperatura
Reglas para el control de temperatura de una regadera (tibia):
Si agua es FRIA entonces incrementar aprox. en 2 unidades
Si agua es FRESCA entonces incrementar aprox. en 1 unidad
Si agua es TIBIA entonces incrementar aprox. en 0 unidades
Si agua es CALIENTE entonces decrementar en aprox. en 1 unidad

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Ejemplo control de regadera – temperatura
0
1
m(T)
T

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Ejemplo control de regadera – salida de control
0
1
m(C)
C

28
Ejemplo control de regadera – reglas
0
1
m(T,C)
T
C

29
Ejemplo control de regadera – inferencia (OR implicito)
0
1
m(T,C)
T
C
Temp
Entrada

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Ejemplo control de regadera – salida
0
1
m(C)
C
Centro de Momento

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Aplicaciones
Control de procesos
Sistemas embebidos (lavadoras, cámaras, etc.)
Sistemas expertos difusos
Percepción
Robótica

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Ventajas

Analogía con forma de expresión humana
Simplicidad y eficiencia computacional
Aplicaciones exitosas

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Desventajas
Dificultad de interpretación de valores difusos (semántica no clara)
Mútiples difiniciones de operadores y reglas de inferencia difusas
No hay una buena justificación de operadores difusos

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Referencias
L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”, Information and Control 8, 1965
I. Graham, P. Jones, “Expert Systems”, Chapman and Hall, 1988 – Capítulo 5
H. Zimmermann, “Fuzzy Set Theory and its Applications”, Kluwer, 1985

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Actividades
Entrega de proyecto final
Reporte escrito (formato reportes técnicos)
Presentación y demo. programa (máximo 20 minutos)