Da tríade {1, 0, infinito}

Enviado por José Pinto Casquilho

1. A unidade e a multiplicidade
2. O zero e o vazio
3. Infinitos
4. Da recta acabada ao campo complexo
5. Da tríade

À Estela, que me lançou uma bela provocação e me deixou a pensar: com o símbolo pretende-se chegar a Deus...

Pour appeler quelque chose possible, ce m"est assez qu"on en puisse former une notion, quand elle ne serait que dans l"entendement divin, qui est pour ainsi dire le pays des réalités possibles.

G. W. Leibniz, Lettre à Arnauld, 1686[1]

The world of ideas, i.e., the totality S of all things which can be objects of my thought, is infinite.

Dedekind, 1888[2]A função sígnica vive da dialéctica de presença e ausência. Umberto Eco, 1994[3]

A linguagem oral dos números, associada aos dedos da mão, digitos, remonta pelo menos às tribos nómadas do paleolítico[4]e, inscrevendo-se em traços na rocha constitui um esboço do conjunto dos números naturais; por certo que era utilizada para contar animais na transumância e nas trocas. Por exemplo, nas gravuras de Foz Côa[5]existem conjuntos de traços, sinais, que podem indiciar números, interpretáveis com caracter votivo ou declarativo.

Fig. 1 – Gravura em osso, padrão zoomórfico de entalhes da Idade da Pedra, gruta de La Mairie

De então para cá, tantas descobertas e construção matemáticas permitiu introduzir e estruturar os números racionais associados ao problema da medida, desde a Antiguidade Clássica, e que se expressam como uma razão, ou fracção; e os irracionais, aqueles que não podem ser expressos por uma fracção, também chegaram cedo, com o problema da raiz quadrada ou mais geralmente o teorema de Pitágoras; e os números negativos por uma operação de simetria; contituíram-se assim, juntando racionais e irracionais, os números reais, representados como pontos sem extensão numa recta infinita. A introdução da raiz imaginária no século XVI e a sua operacionalização posterior veio permitir estender o campo real ao campo complexo.

No século XIX Georg Cantor abriu uma incursão pelos números infinitos, cardinais e ordinais, onde se revela uma infinidade de números infinitos, de que os números aleph[6]e os números beth[7]são casos.

De entre as muitas fórmulas matemáticas aquela que foi considerada a mais bela[8]pela maioria dos inquiridos pela revista Physics World é a chamada fórmula de Euler, que envolve 7 símbolos e 5 números.

Não é sobre essa que me vou debruçar. Escolhi a fórmula 1/0= que acho fascinante, que agrega três elementos {1,0,8} e duas relações {/, =}, a divisão e a igualdade. A expressão simbólica 1/0= é reportada a Wallis[9]no sentido de que foi este autor que adoptou o símbolo 8, no final do século XVII, e serve para enunciar negativamente o conceito de infinito, pois estabelece que não existe número real que multiplicado por zero produza o resultado 1. Em 1770, na Algebra, Euler utilizou aquela fórmula[10]assumindo o significado expresso na igualdade: a unidade a dividir por zero vale infinito, a que sucederam as críticas e os paradoxos.

É conhecido que os pastores nómadas desenvolveram a linguagem oral dos números, seguindo-se sistemas de numeração escrita. Os homens resolveram o problema da contagem através da criação dos números naturais, mediante a idéia e a prática de efectuar uma correspondência biunívoca[11]entre uma coisa e um símbolo, eventualmente mediado por um objecto: seja a bola no ábaco, o traço na areia ou a marca na pedra.

Um número natural pode ser representado por um conjunto de traços, incisões, pedras, ou um símbolo. Umberto Eco define símbolo[12]como um signo vagamente codificado, incorporado numa mensagem que, como sistema de significados, é a forma significante que o destinatário, baseado em códigos determinados, preenche de sentido[13]

Na Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registava os números como conjuntos de incisões em placas de argila: triângulos cursivos representando as dezenas e traços em forma de Y para as unidades[14]