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Desenvolvimento
1.1. Definição: Chama-se função real à lei 
que associa a cada número real de um subconjunto 
dos números reais, um e só um número real. Neste caso denota-se 
ou seja, 
1.2. Exemplos de funções.
1.3. Campo de existência/domínio de definição.
Dada uma função chama-se campo de existência ou domínio de definição da função ao conjunto de todos os números reais 
em cada um dos quais a função tem o valor determinado. Usualmente o domínio da função denota-se por 
Exemplo 1. Achar o domínio da função
Solução:
A função está definida para todo que não anula o denominador, isto é, 
Logo, 
1.4. Contradomínio da função.
Chama-se contradomínio (ou seja imagem) da função ao conjunto definido por 
Exemplo 1. Achar o 
de 
Para achar desta função basta resolver a equação considerando como variável dependente.
Da última expressão chegamos à conclusão de que para todo e qualquer 
dado 
existe um número real 
tal que 
Logo, 
Em matemática o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que dada uma função continua f num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a, b), existe um ponto c em (a, b) tal que :
3.1. Critérios da monotonia:
Seja uma função derivável no intervalo (a, b).
Uma função pode ser monótona crescente ou monótona decrescente:
Em um ou mais de um intervalo incluído no seu domínio de definição tais como as funções 
Em todo o seu domínio de definição tais como as funções
Nesta secção vamos investigar a monotonia das funções com ajuda do gráfico, da derivada e do sinal do discriminante.
Sublinha-se que o método do gráfico é aplicável para funções simples, por exemplo, para funções quadráticas, exponenciais, logaritmicas e funções trigonométricas fundamentais.
O método da derivada é mais eficaz e é aplicável para maior parte das funções elementares.
5.1. Funções quadráticas.
Exemplo 1. Desenhar o gráfico das funções abaixo e determinar os intervalos de crescimento e decrescimento
Solução: Para desenhar o gráfico dessas funções precisa-se destacar, para além dos pontos auxiliares, o vértice e zeros.
O gráfico diz que a função é crescente no intervalo 
e decrescente no intervalo 
5.2. Funções cúbicas.
Exemplo 1. Achar os intervalos de crescimento e decrescimento das funções seguintes:
Solução. Não é fácil desenhar o gráfico das funções cúbicas a), b); portanto vamos usar o método da derivada. Sendo a derivada da função cúbica, a função quadrática, portanto precisa-se de uma observação importante sobre a variação do sinal da função quadrática 
Caso 1. Se 
então;
Caso 2. Se 
então a equação 
tem duas soluções 
com 
Neste caso, 
toma o sinal do coeficiente 
fora do intervalo 
e sinal contrário dentro do intervalo.
Logo, a função é decrescente no intervalo 
Exemplo 2. Dada a função
com que valor de 
a função é decrescente em seu domínio de definição? Para que a função seja crescente em todo o seu domínio de definição a derivada 
deve ser positivo para qualquer
Solução:
Conclusão: A função é decrescente no intervalo se 
5.3. Função fraccionária 
onde 
são graus de 
e 
5.3.1. Função 
com 
Exemplo 1. Estudar a monotonia da função
Solução:
Para a função simples tais como funções neste exemplo, podemos usar o método do gráfico. Primeiramente, desenhamos o gráfico de funções 
que é uma hipérbole).
Esse gráfico diz que a função 
é decrescente no intervalo 
e 
Logo, do gráfico da função pode obter-se o gráfico da função pela translação do gráfico da função pela unidade à esquerda.
Assim, a função é decrescente no intervalo 
Exemplo 2. Estudar a monotonia da função 
com
Solução: 
Conclusão. Se 
então a função é crescente
Se 
então a função é decrescente
Aplicação: Sem desenhar o gráfico e sem calcular derivada, dar conclusão sobre a monotonia das funções seguintes empregando o sinal do descriminante 
Solução:
5.3.2. Função 
Exemplo 1. Estudar a monotonia da função 
Solução:
Conclusão. Como 
e 
então a função é decrescente no intervalo 
Como foi visto em sessões anteriores, não é fácil nem é recomendável estudar a monotonia de funções baseando-se num único método; torna necessário o domínio, integração e sistematização de vários métodos para dar solução adequada a cada exercício. Acredita-se, ainda, que os três métodos apresentados (gráfico, derivada e sinal do discriminante) constituem uma ferramenta necessária e suficiente para o estudo da monotonia de quaisquer funções elementares. Sugere-se que a escolha de um ou outro método tenha dependência da expressão analítica da função dada. Mas observa-se que dentre os métodos estudados, o mais eficaz é o da derivada pois que pode resolver a monotonia de todas as funções. Assim, a boa aplicação desses métodos pode contribuir significativamente no desenvolvimento de habilidades matemáticas dos estudantes do 1º e 2º ano do Curso de Matemática do ISCED-Huambo.
1. Bugrov, Ia. S. S. M. (1986). Nicolski-Matemática para Engenharia. Princípios de Análise Matemática vol2: Mir.Moscovo
2. Brosnstein, I.K.( 1988).Semendiaev-Matemática para Engenheiros e Estudantes.
3. Demidovitch, B. (1993). Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Portugal: Mir Moscovo.
4. Gonzalez, Mário O. (1968). Complementos de geometria y nociones de calculo diferencial e integra. Instituto do Livro l: Osvaldo Sonchez.
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6. Morais, Adelino Sakata (2010). Monografia do trabalho de fim de curso para obtenção do grau de licenciatura em ciências de educação: ISCED-Huambo.
7. Pedroso, Ballester S. (1992). Metodologia de la enseñanza de la Matemática I. Cuba: Puesblo y Educación.
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9. Torres, P ; Lopez G. (1999). A aprendizagem significativa da Matemática de nível médio e básico. Cuba: Material de consulta ISPEJV.
10. Torres, P ; Lopez G. (1999). Métodos problémicos no ensino da Matemática (PROMET).Cuba: Academia.
Autores:
Lic. Adelino Sakata Morais
Assistente Estagiário é Docente no Instituto Superior de Ciências da Educação do Huambo e lecciona há três anos a Cadeira de Complementos da Matemática.
Lic. Bartolomeu Chindumbo Delfino
delfinomano27[arroba]gmail.com
Assistente é Docente no Instituto Superior de Ciências da Educação do Huambo e lecciona há três anos a Cadeira de Análise Matemática.
Lic. Hélder Jorge Barroso
heldebarroso17[arroba]gmail.com
Estgiário de Investigação é Docente no Instituto Superior de Ciências da Educação do Huambo e lecciona a Cadeira de Análise Complexa.
INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS DA EDUCAÇAO DO HUAMBO
ISCED-HUAMBO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXACTAS
COLÓQUIO 2014
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