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Desenvolvimento
1.1. Definição: Chama-se função real à lei que associa a cada número real de um subconjunto
dos números reais, um e só um número real. Neste caso denota-se
ou seja,
1.2. Exemplos de funções.
1.3. Campo de existência/domínio de definição.
Dada uma função chama-se campo de existência ou domínio de definição da função
ao conjunto de todos os números reais
em cada um dos quais a função tem o valor determinado. Usualmente o domínio da função denota-se por
Exemplo 1. Achar o domínio da função
Solução:
A função está definida para todo que não anula o denominador, isto é,
Logo,
1.4. Contradomínio da função.
Chama-se contradomínio (ou seja imagem) da função ao conjunto definido por
Exemplo 1. Achar o de
Para achar desta função basta resolver a equação considerando
como variável dependente.
Da última expressão chegamos à conclusão de que para todo e qualquer dado
existe um número real
tal que
Logo,
Em matemática o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que dada uma função continua f num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a, b), existe um ponto c em (a, b) tal que :
3.1. Critérios da monotonia:
Seja uma função derivável no intervalo (a, b).
Uma função pode ser monótona crescente ou monótona decrescente:
Em um ou mais de um intervalo incluído no seu domínio de definição tais como as funções
Em todo o seu domínio de definição tais como as funções
Nesta secção vamos investigar a monotonia das funções com ajuda do gráfico, da derivada e do sinal do discriminante.
Sublinha-se que o método do gráfico é aplicável para funções simples, por exemplo, para funções quadráticas, exponenciais, logaritmicas e funções trigonométricas fundamentais.
O método da derivada é mais eficaz e é aplicável para maior parte das funções elementares.
5.1. Funções quadráticas.
Exemplo 1. Desenhar o gráfico das funções abaixo e determinar os intervalos de crescimento e decrescimento
Solução: Para desenhar o gráfico dessas funções precisa-se destacar, para além dos pontos auxiliares, o vértice e zeros.
O gráfico diz que a função é crescente no intervalo e decrescente no intervalo
5.2. Funções cúbicas.
Exemplo 1. Achar os intervalos de crescimento e decrescimento das funções seguintes:
Solução. Não é fácil desenhar o gráfico das funções cúbicas a), b); portanto vamos usar o método da derivada. Sendo a derivada da função cúbica, a função quadrática, portanto precisa-se de uma observação importante sobre a variação do sinal da função quadrática
Caso 1. Se então;
Caso 2. Se então a equação
tem duas soluções
com
Neste caso, toma o sinal do coeficiente
fora do intervalo
e sinal contrário dentro do intervalo.
Logo, a função é decrescente no intervalo
Exemplo 2. Dada a funçãocom que valor de
a função é decrescente em seu domínio de definição? Para que a função seja crescente em todo o seu domínio de definição a derivada
deve ser positivo para qualquer
Solução:
Conclusão: A função é decrescente no intervalo se
5.3. Função fraccionária onde
são graus de
e
5.3.1. Função com
Exemplo 1. Estudar a monotonia da função
Solução:
Para a função simples tais como funções neste exemplo, podemos usar o método do gráfico. Primeiramente, desenhamos o gráfico de funções que é uma hipérbole).
Esse gráfico diz que a função é decrescente no intervalo
e
Logo, do gráfico da função pode obter-se o gráfico da função
pela translação do gráfico da função
pela unidade à esquerda.
Assim, a função é decrescente no intervalo
Exemplo 2. Estudar a monotonia da função com
Solução:
Conclusão. Se então a função é crescente
Se então a função é decrescente
Aplicação: Sem desenhar o gráfico e sem calcular derivada, dar conclusão sobre a monotonia das funções seguintes empregando o sinal do descriminante
Solução:
5.3.2. Função
Exemplo 1. Estudar a monotonia da função
Solução:
Conclusão. Como e
então a função
é decrescente no intervalo
Como foi visto em sessões anteriores, não é fácil nem é recomendável estudar a monotonia de funções baseando-se num único método; torna necessário o domínio, integração e sistematização de vários métodos para dar solução adequada a cada exercício. Acredita-se, ainda, que os três métodos apresentados (gráfico, derivada e sinal do discriminante) constituem uma ferramenta necessária e suficiente para o estudo da monotonia de quaisquer funções elementares. Sugere-se que a escolha de um ou outro método tenha dependência da expressão analítica da função dada. Mas observa-se que dentre os métodos estudados, o mais eficaz é o da derivada pois que pode resolver a monotonia de todas as funções. Assim, a boa aplicação desses métodos pode contribuir significativamente no desenvolvimento de habilidades matemáticas dos estudantes do 1º e 2º ano do Curso de Matemática do ISCED-Huambo.
1. Bugrov, Ia. S. S. M. (1986). Nicolski-Matemática para Engenharia. Princípios de Análise Matemática vol2: Mir.Moscovo
2. Brosnstein, I.K.( 1988).Semendiaev-Matemática para Engenheiros e Estudantes.
3. Demidovitch, B. (1993). Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Portugal: Mir Moscovo.
4. Gonzalez, Mário O. (1968). Complementos de geometria y nociones de calculo diferencial e integra. Instituto do Livro l: Osvaldo Sonchez.
5. Métodos do campo da Derivada (2008). www. icmc.sc.usp.br~PZ taboas/noctel node 15.html.-28K. Acesso em 10 de Setembro de 2014.
6. Morais, Adelino Sakata (2010). Monografia do trabalho de fim de curso para obtenção do grau de licenciatura em ciências de educação: ISCED-Huambo.
7. Pedroso, Ballester S. (1992). Metodologia de la enseñanza de la Matemática I. Cuba: Puesblo y Educación.
8. Pedroso, Ballester S. (2000). Metodologia de la Enseñanza de la Matemática I. Cuba: Academia.
9. Torres, P ; Lopez G. (1999). A aprendizagem significativa da Matemática de nível médio e básico. Cuba: Material de consulta ISPEJV.
10. Torres, P ; Lopez G. (1999). Métodos problémicos no ensino da Matemática (PROMET).Cuba: Academia.
Autores:
Lic. Adelino Sakata Morais
Assistente Estagiário é Docente no Instituto Superior de Ciências da Educação do Huambo e lecciona há três anos a Cadeira de Complementos da Matemática.
Lic. Bartolomeu Chindumbo Delfino
delfinomano27[arroba]gmail.com
Assistente é Docente no Instituto Superior de Ciências da Educação do Huambo e lecciona há três anos a Cadeira de Análise Matemática.
Lic. Hélder Jorge Barroso
heldebarroso17[arroba]gmail.com
Estgiário de Investigação é Docente no Instituto Superior de Ciências da Educação do Huambo e lecciona a Cadeira de Análise Complexa.
INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS DA EDUCAÇAO DO HUAMBO
ISCED-HUAMBO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXACTAS
COLÓQUIO 2014
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