Partes: 1, 2

 

Já que o grafo não é orientado, a relação 1-2 significa 2-1 também.

• 1-2 (2-1)
• 1-3 (3-1)
• 2-3 (3-2)
• 2-4 (4-2)
• 4-5 (5-4)

Essas são as cinco arestas do nosso grafo. Vamos representá-la na matriz de adjacência:

Uma das características da matriz de adjacência quando o grafo não é orientado é a simetria encontrada na "diagonal". É interessante que se lermos uma coluna de índice v ou uma linha de índice v vamos encontrar a mesma coisa.

Alguns desses programas são complicados, mas isto não entra em questão. Apenas dê uma olhada no recebimento da entrada deles. Todos estão em C. O que eles têm em comum é a utilização de uma matriz de adjacência para guardar o grafo (geralmente nomeada g):

• Ambulância
• Batuíra +
• Carga Pesada * +
• Dengue
• Dominó
• Manutenção
• Número de Erdos X
• Orkut *
• Pedágio
• Rede Ótica

* - Grafo orientado
+ - Grafo ponderado (veremos no próximo artigo)
X - Não queira ver esse problema. Nunca vi solução mais feia. Já estou providenciando uma implementação mais decente...

Eu não disse pra vocês que era fácil conseguir emprego no Orkut? Hehehe... Vamos pensar como podemos descobrir o grau (relembrando... o número de arestas que cada vértice tem OU o número de amigos que cada pessoa tem) na matriz de adjacências. Não basta contar quantos 1s tem na sua linha correspondente? Então façamos isto.

para i 1 até N, faça

grau 0

para j 1 até N, faça

se matriz[i][j] = 1, então

grau grau + 1

fim-se

fim-para

imprima "O vértice " i " tem grau " grau "."

O custo é até no melhor caso... Será que não há uma maneira mais simples de fazer isso? Imagina um negócio do tamanho do Orkut. Milhões de pessoas... Não seria bem mais fácil se ao invés de termos que passar por todos os vértices, só passarmos pelos amigos? Não poderíamos colocar somente seus amigos num vetor? É por isto que utilizamos a lista de adjacência.

A lista de adjacência consiste em criar um vetor para cada vértice. Este vetor contém cada vértice que o vértice "conhece" (tem uma aresta para). Geralmente é representada com uma matriz, porque cada vértice vai precisar de um vetor diferente, não é? Já que eu não vou ser duas vezes "amigo" de ninguém, então podemos fazer uma matriz de NxN.

A lista consiste em escrever para cada número de linha (= vértice) seus amigos, da seguinte maneira:

1. 2, 3
2. 1, 3, 4
3. 1, 2
4. 2, 5
5. 4

Portanto, na programação seria representado da seguinte maneira:

O método da lista de adjacências tem várias vantagens: dependendo de como você implementa você não precisa inicializar a lista (zerar), as buscas são bem mais rápidas (você só passa pelos vértices que são "amigos" do atual) e geralmente você já tem o grau do vértice na ponta da língua (eu, pelo menos, sempre uso um vetor cont que contém o número de amigos de cada vértice para ficar mais fácil inserir o próximo elemento na lista - lista[cont[v]++]=w).

Vamos trabalhar com uma entrada de vários x, y, indicando relação entre x-y (y-x) até que x=0 e y=0. O grafo não é orientado.

para i 1 até N, faça

para j 1 até N, faça

matriz[i][j] 0

fim-para

enquanto (recebe x, y e x 0), faça

matriz[x][y] 1

matriz[y][x] 1

Tem vários exemplos implementados em C aqui.

para i 1 até N, faça

grau[i] 0

enquanto (recebe x, y e x 0), faça

lista[x][grau[x]++] y

lista[y][grau[y]++] x

Para quem não programa em C, o variavel++ significa "incrementar variavel depois da instrução atual".

As duas juntas

para i 1 até N, faça

para j 1 até N, faça

matriz[i][j] 0

fim-para

grau[i] 0

enquanto (recebe x, y e x 0), faça

matriz[x][y] 1

matriz[y][x] 1

lista[x][grau[x]++] y

lista[y][grau[y]++] x

Isso depende totalmente do problema. Em alguns casos, o mais barato é usar as duas representações juntas. As vantagens da lista de adjacências eu já escrevi aqui. A única vantagem da matriz de adjacências é você em tempo constante (não é nem linear) saber se um vértice é amigo de outro. Afinal, basta testar matriz[v][w].

Até maio do ano passado, eu não tinha aprendido isso direito e sempre usava a matriz de adjacências. Por isso muitos dos meus problemas estão resolvidos de forma pouco eficiente...