Universidad Politécnica de Valencia

Métodos Numéricos

PSEUDOINVERSA DE UNA MATRIZ

ÍNDICE 1. Introducción 3 1.1 Descomposición en valores singulares 3 1.2 Definición 5 1.3 Propiedades 5 1.3.1 Existencia y unicidad 5 1.3.2 Propiedades básicas 5 1.4 Aplicaciones 6 1.4.1 Obtención de todas las soluciones de un sistema lineal 6 1.4.2 Solución de mínima norma en un sistema lineal 6 1.4.3 Número de condición 6 2. Experimentación con Mathematica 6 2.1 Ejemplos 7 2.1.1 Ejemplo en matrices regulares 7 2.1.2 Ejemplo en matrices singulares 7 2.1.3 Ejemplo en matrices nulas 8 2.1.4 Comprobación de las cuatro propiedades que cumple la pseudoinversa de Penrose: 8 2.1.5 Cálculo del …ver más…

Tal y como hemos estudiado y demostrado en clase, la matriz A con dimensiones mxn la podemos descomponer mediante la aplicación de reflectores quedando descompuesta de la siguiente forma:

A=H RKT
De tal modo que la fórmula que caracteriza la pseudoinversa tiene la siguiente forma:
En esta descomposición deberemos tener en cuenta si la matriz es de rango completo o deficiente de rango.
A+=K R-1HT

Para analizar más concretamente esta descomposición deberemos tener en cuenta si la matriz es de rango completo (RgA=n) o si es deficiente de rango (RgA=k, k<n).

* Rango completo (RgA=n)

En este caso tras la aplicación de los reflectores de Houselholder la matriz matriz R vendrá definida de la siguiente forma R11-1000 y con dimensiones nxm. R11 tiene dimensiones nxn. La matriz H=i y la matriz K=U1*U2*U3…*Un, siendo U las matrices formadas tras la aplicación de los reflectores en la matriz A.

* Deficiente de rango (RgA=k)

En el caso de rango completo, tras aplicar los reflectores por la izquierda de Householder la matriz R nos quedará de la siguiente forma R11T00. Como la matriz tiene que tener la forma R11000 entonces cogeremos la matriz R y aplicaremos los reflectores W a la matriz (R11T), teniendo T dimesiones kx(n-k). Finalmente obtendremos la