Logaritmo natural
El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527. El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, …ver más…

La derivada del logaritmo natural viene dada por

Esto se debe a que ln(x) es una integral indefinida de una función continua, por lo tanto, utilizando el teorema fundamental del cálculo obtenemos que la primera derivada de ln (x) es igual a 1/x.
El logaritmo natural es una función analítica, por tanto puede representarse como una serie de Taylor centrada en algún punto de su dominio. Puesto que la primera derivada del logaritmo natural (1/x) evaluada en cero no existe, su serie de Taylor suele centrarse en uno, para luego hacer un cambio de variable y centrarla en cero. De esta manera, se obtiene la serie de Taylor del logaritmo natural

Que se conoce como serie de Mercator.
Utilizando la identidad funcional

Y sustituyendo en la serie de Taylor del arcotangente hiperbólico se obtiene la siguiente serie, cuya convergencia es más rápida que la anterior y es válida para valores positivos de x:

Aplicando una trasformación binomial a la serie de Taylor se obtiene esta segunda serie, válida para valores x con valor absoluto mayor que 1:

Nótese que es su propia función inversa, con lo que para obtener el logaritmo natural de un cierto número y es suficiente con sustituir en el lugar de x.
El logaritmo natural en integración
El logaritmo natural permite la integración sencilla de las funciones de la forma g(x) = f '(x)/f(x): una primitiva g(x)