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|Introducción |3 |
|1. Transformaciones lineales |4 …ver más…

ii) [pic][pic] es lineal si y solo si [pic][pic], [pic][pic], [pic][pic].
Si T lineal, entonces [pic][pic]. Inversamente, supongamos que [pic][pic], [pic][pic], [pic][pic]. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal: a) [pic][pic]. b) [pic][pic]
Nótese que usamos el hecho de que [pic][pic], lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i). iii) [pic][pic] es lineal si y solo si [pic][pic] [pic][pic], [pic][pic].
La demostración se hace por inducción sobre n. a) Si [pic][pic], entonces [pic][pic], por la condición (ii) de T. b) Supongamos válido para n. Probemos para [pic][pic]:
Por la condición (i) de T, tenemos que, [pic][pic]Y por hipótesis de inducción, tenemos que,
[pic][pic]
Así que podemos concluir que, [pic][pic]
Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue: [pic][pic]
Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.
Ejemplo 1.
Sea [pic][pic] tal que [pic][pic], [pic][pic]. Entonces T es lineal, ya que [pic][pic], y por otro lado, [pic][pic]. Por lo tanto, vemos que [pic][pic].
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como [pic][pic].
Ejemplo 2.
Sea [pic][pic] tal que [pic][pic], [pic][pic]. Entonces T es lineal, ya que [pic][pic].
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como